线性相关的三种判断方法(判断线性相关的三种方法)

一、向量的线性表示

向量的线性表示是指用某些向量的线性组合来表示另一个向量。对于向量组{$boldsymbol{v_1}$, $boldsymbol{v_2}$, …, $boldsymbol{v_k}$}中的任意一个向量$boldsymbol{v}$，如果存在一组标量{$c_1$, $c_2$, …, $c_k$}，使得$$boldsymbol{v} = c_1boldsymbol{v_1} + c_2boldsymbol{v_2} + … + c_kboldsymbol{v_k}$$ 那么我们说向量$boldsymbol{v}$可以由向量组{$boldsymbol{v_1}$, $boldsymbol{v_2}$, …, $boldsymbol{v_k}$}线性表示。

向量的线性表示是判断向量之间线性相关或线性无关的基础。如果一个向量组中的任意一个向量可以由其他向量线性表示，则向量组是线性相关的；反之，如果向量组中的任意一个向量不能由其他向量线性表示，则向量组是线性无关的。

二、行列式判断

行列式判断是判断向量组线性相关或线性无关的一种方法。对于一个包含$n$个$n$维向量的向量组$V = {boldsymbol{v_1, v_2, …, v_n}}$，我们可以把它们排成一个$n times n$的矩阵，记为$A$。如果存在一组不全为0的系数$c_1, c_2, …, c_n$，使得$c_1boldsymbol{v_1} + c_2boldsymbol{v_2} + … + c_nboldsymbol{v_n} = 0$，那么有$det(A) = 0$，即矩阵$A$的行列式等于0。反之，如果行列式$det(A) neq 0$，即矩阵$A$可逆，那么向量组$V$就是线性无关的。

三、秩的判断方法

在$n$维向量空间中，$n$个线性无关的向量组成的向量组是一组基。对于任意一个向量组，都可以使用高斯消元法求出其每个向量的列最简形式，然后通过观察矩阵的阶梯形态来判断该向量组的秩。

矩阵的秩定义为矩阵消元后的行向量个数，因此如果一个向量组的秩小于向量个数，那么该向量组就是线性相关的。反之，如果向量组的秩等于向量个数，那么该向量组就是线性无关的。

代码实现

下面是三种判断方法的代码示例：

import numpy as np

# 向量的线性表示
def linear_combination(vec_list, vec):
    A = np.matrix(vec_list).T
    b = np.matrix(vec).T
    try:
        x = np.linalg.solve(A, b)
        return True
    except:
        return False

# 行列式判断
def determinant_judge(vec_list):
    A = np.matrix(vec_list)
    if np.linalg.det(A) != 0:
        return True
    else:
        return False

# 秩的判断
def rank_judge(vec_list):
    A = np.matrix(vec_list)
    r = np.linalg.matrix_rank(A)
    if r == len(vec_list):
        return True
    else:
        return False