tanh求导详解(Tanh求导过程)

一、tanh介绍

tanh函数（双曲正切函数）是一种常见的数学函数，它是sigmoid函数的变形，是一种非线性函数，在神经网络中被广泛应用。

tanh函数的表达式如下：

tanh(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

可以看到，tanh函数是由指数函数组成的比值，并且其取值范围为[-1, 1]。

二、tanh求导方法

1. 基本方法

对于tanh函数的导数，可以使用基本的求导公式进行求解。根据导数的定义，可得：

tanh'(x) = lim (t->0) ((tanh(x+t) - tanh(x)) / t)

接下来，我们使用tanh函数的定义式对上式进行变形，得到：

tanh'(x) = lim (t->0) ( ((e^(x+t) - e^(-x-t))/(e^(x+t) + e^(-x-t))) - ((e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)) ) / t

使用通分的方法，将分母化简，得到：

tanh'(x) = lim (t->0) (4e^x / (e^2x + e^2t + 2e^x e^t + e^-2x - e^-2t - 2e^-x e^-t) ) / t

继续化简，得到：

tanh'(x) = 4lim (t->0) e^x / (e^2x + e^2t + 2e^x e^t + e^(-2x) - e^(-2t) - 2e^(-x) e^(-t)) * lim (t->0) 1/t

对于第二个极限，可以使用极限的基本性质将其转化为导数的形式，得到：

tanh'(x) = 4lim (t->0) e^x / (e^2x + e^2t + 2e^x e^t + e^(-2x) - e^(-2t) - 2e^(-x) e^(-t)) * (1/x)'

继续化简，得到：

tanh'(x) = 4e^x / (e^2x + 1 + 2tanh(x) - tanh^2(x))

综合上述推导过程，可以得到tanh函数的导数表达式为：

tanh'(x) = 1 - tanh^2(x)

2. 利用递推关系求导（推荐）

除了使用基本的求导公式求解tanh函数的导数外，还可以使用递推法求解。tanh函数可以表示为：

tanh(x) = 2sigmoid(2x) - 1

可以得到：

tanh'(x) = 2 * (sigmoid(2x))' = 2 * sigmoid(2x) * (1 - sigmoid(2x))

由此，利用sigmoid函数的递推法，则有：

sigmoid(x)' = sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

使用sigmoid函数的递推关系，可以得到tanh函数的导数表达式为：

tanh'(x) = 1 - tanh^2(x)

三、python代码实现

使用python可以快速实现tanh函数和其导数，代码如下：

import math

def tanh(x):
    return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

def tanh_derivative(x):
    return 1 - math.pow(tanh(x), 2)

其中，tanh函数使用了Python的数学库math库提供的exp函数，tanh_derivative则使用了我们上文推导出的tanh函数的导数表达式。

四、总结

本文介绍了tanh函数的定义、求导方法和python实现，希望能对读者们有所帮助。当然，不同的求导方法可能会有不同的优缺点，读者们可以根据具体情况或者习惯进行选择。