四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换

 

RPY角与Z-Y-X欧拉角

　　描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种方式。第一种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γγ，然后绕{A}的Y轴旋转ββ，最后绕{A}的Z轴旋转αα，就能旋转到当前姿态。可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY角(Roll, Pitch, Yaw)。

　　Roll:横滚

　　Pitch: 俯仰

Yaw: 偏航（航向）

　　由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cαcα is shorthand for cosαcos⁡α, sαsα is shorthand for sinαsin⁡α,and so on.）

RXYZ(γ,β,α)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥RXYZ(γ,β,α)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=[cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ]

　　另一种姿态描述方式是绕自身坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕自身的Z轴旋转αα，然后绕Y轴旋转ββ，最后绕X轴旋转γγ，就能旋转到当前姿态。称其为Z-Y-X欧拉角，由于是绕自身坐标轴进行旋转，则旋转矩阵为：

RZ′Y′X′(α,β,γ)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥RZ′Y′X′(α,β,γ)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=[cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ]

　　可以发现这两种描述方式得到的旋转矩阵是一样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)(γ,β,α)和绕自身坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)(α,β,γ)的最终结果一样，只是描述的方法有差别而已。In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.

Axis-Angle与四元数

　　绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某一转轴旋转一定的角度。假设等效旋转轴方向向量为K⃗=[kx,ky,kz]TK→=[kx,ky,kz]T，等效旋转角为θθ，则四元数q=(x,y,z,w)q=(x,y,z,w)，其中：

xyzw=kx⋅sinθ2=ky⋅sinθ2=kz⋅sinθ2=cosθ2x=kx⋅sinθ2y=ky⋅sinθ2z=kz⋅sinθ2w=cosθ2

　　且有x2+y2+z2+w2=1x2+y2+z2+w2=1

　　即四元数存储了旋转轴和旋转角的信息，它能方便的描述刚体绕任意轴的旋转。

　　四元数转换为旋转矩阵：

R=⎡⎣⎢1−2y2−2z22(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2x2−2z22(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2x2−2y2⎤⎦⎥R=[1−2y2−2z22(xy−zw)2(xz+yw)2(xy+zw)1−2×2−2z22(yz−xw)2(xz−yw)2(yz+xw)1−2×2−2y2]

 　　已知旋转矩阵为：

　　则对应的四元数为：

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四元数与欧拉角的相互转换

　　定义两个四元数：

　　

　　
　　其中 表示矢量 
 
 ；而 
 
 表示矢量 
 

四元数加法：

　　跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。

　　加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：

　　四元数的乘法的意义类似于矩阵的乘法，可以表示旋转的合成。当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。

　　由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp，qp乘积的向量部分是：

　　
　　Mathematica中有四元数相关的程序包Quaternions Package，需要先导入才能使用。下面计算了三个四元数的乘积：

 

　　计算结果为：Quaternion[-12, 4, 14, 2]

 
　　那么将Z-Y-X欧拉角（或RPY角：绕固定坐标系的X-Y-Z依次旋转αα,ββ,γγ角）转换为四元数：

q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosγ200sinγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosβ20sinβ20⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosα2sinα200⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢cosα2cosβ2cosγ2+sinα2sinβ2sinγ2sinα2cosβ2cosγ2−cosα2sinβ2sinγ2cosα2sinβ2cosγ2+sinα2cosβ2sinγ2cosα2cosβ2sinγ2−sinα2sinβ2cosγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥q=[cos⁡γ200sin⁡γ2][cos⁡β20sin⁡β20][cos⁡α2sin⁡α200]=[cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡β2sin⁡γ2sin⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2−cos⁡α2sin⁡β2sin⁡γ2cos⁡α2sin⁡β2cos⁡γ2+sin⁡α2cos⁡β2sin⁡γ2cos⁡α2cos⁡β2sin⁡γ2−sin⁡α2sin⁡β2cos⁡γ2]

 　　根据上面的公式可以求出逆解，即由四元数q=(q0,q1,q2,q3)q=(q0,q1,q2,q3)或q=(w,x,y,z)q=(w,x,y,z)到欧拉角的转换为：

⎡⎣⎢αβγ⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢arctan2(q0q1+q2q3)1−2(q21+q22)arcsin(2(q0q2−q1q3))arctan2(q0q3+q1q2)1−2(q22+q23)⎤⎦⎥⎥⎥⎥[αβγ]=[arctan⁡2(q0q1+q2q3)1−2(q12+q22)arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))arctan⁡2(q0q3+q1q2)1−2(q22+q32)]

　　由于arctan和arcsin的取值范围在−π2−π2和π2π2之间，只有180°，而绕某个轴旋转时范围是360°，因此要使用atan2函数代替arctan函数：

⎡⎣⎢αβγ⎤⎦⎥=⎡⎣⎢atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q21+q22))arcsin(2(q0q2−q1q3))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q23))⎤⎦⎥[αβγ]=[atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q12+q22))arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q32))]

对于tan(θ) = y / x ：

　　θ = ATan(y / x)求出的θ取值范围是[-PI/2, PI/2]；

　　θ = ATan2(y, x)求出的θ取值范围是[-PI,   PI]。

当 (x, y) 在第一象限, 0 < θ < PI/2

当 (x, y) 在第二象限 PI/2 < θ≤PI

当 (x, y) 在第三象限, –PI < θ < –PI/2

当 (x, y) 在第四象限, -PI/2 < θ < 0

 　　将四元数转换为欧拉角可以参考下面的代码。需要注意欧拉角有12种旋转次序，而上面推导的公式是按照Z-Y-X顺序进行的，所以有时会在网上看到不同的转换公式（因为对应着不同的旋转次序），在使用时一定要注意旋转次序是什么。比如ADAMS软件里就默认Body 3-1-3次序，即Z-X-Z欧拉角，而VREP中则按照X-Y-Z欧拉角旋转。
 

　　 上面的代码存在一个问题，即奇异性没有考虑。下面看一种特殊的情况（参考Maths – Conversion Quaternion to Euler）：假设一架飞机绕Y轴旋转了90°（俯仰角pitch=90），机头垂直向上，此时如何计算航向角和横滚角？

　　这时会发生自由度丢失的情况，即Yaw和Roll会变为一个自由度。此时再使用上面的公式根据四元数计算欧拉角会出现问题：

　　arcsin(2(q0q2−q1q3))arcsin⁡(2(q0q2−q1q3))的定义域为[−1,1][−1,1]，因此(q0q2−q1q3)∈[−0.5,0.5](q0q2−q1q3)∈[−0.5,0.5]，当q0q2−q1q3=0.5q0q2−q1q3=0.5时（在程序中浮点数不能直接进行等于判断，要使用合理的阈值），俯仰角ββ为90°，将其带入正向公式计算出四元数(q0,q1,q2,q3)(q0,q1,q2,q3)，然后可以发现逆向公式中atan2函数中的参数全部为0，即出现了0000的情况！无法计算。

　　β=π/2β=π/2时，sinβ2=cosβ2=0.707sin⁡β2=cos⁡β2=0.707，将其带入公式中有

q=⎡⎣⎢⎢⎢wxyz⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(sinα2cosγ2−cosα2sinγ2)0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(cosα2sinγ2−sinα2cosγ2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0.707cosα−γ20.707sinα−γ20.707cosα−γ20.707sinα−γ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥q=[wxyz][0.707(cos⁡α2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡γ2)0.707(sin⁡α2cos⁡γ2−cos⁡α2sin⁡γ2)0.707(cos⁡α2cos⁡γ2+sin⁡α2sin⁡γ2)0.707(cos⁡α2sin⁡γ2−sin⁡α2cos⁡γ2)]=[0.707cos⁡α−γ20.707sin⁡α−γ20.707cos⁡α−γ20.707sin⁡α−γ2]

　　则xw=zy=tanα−γ2xw=zy=tan⁡α−γ2，于是有

α−γ=2⋅atan2(x,w)α−γ=2⋅atan2(x,w)

 　　通常令α=0α=0，这时γ=−2⋅atan2(x,w)γ=−2⋅atan2(x,w)。可以进行验证：当四元数为(w,x,y,z)=(0.653,-0.271,0.653,0.271)时，根据这些规则计算出来的ZYX欧拉角为α=0°，β=90°，γ=45°

　　当俯仰角为-90°，即机头竖直向下时的情况也与之类似，可以推导出奇异姿态时的计算公式。比较完整的四元数转欧拉角（Z-Y-X order）的代码如下：

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　　在DirectXMath Library中有许多与刚体姿态变换相关的函数可以直接调用：

四元数乘法：XMQuaternionMultiply method –Computes the product of two quaternions.
旋转矩阵转四元数：XMQuaternionRotationMatrix method –Computes a rotation quaternion from a rotation matrix.
四元数转旋转矩阵：XMMatrixRotationQuaternion method — Builds a rotation matrix from a quaternion.
欧拉角转四元数：XMQuaternionRotationRollPitchYaw method –Computes a rotation quaternion based on the pitch, yaw, and roll (Euler angles).
四元数转Axis-Angle：XMQuaternionToAxisAngle method –Computes an axis and angle of rotation about that axis for a given quaternion.
欧拉角转旋转矩阵：XMMatrixRotationRollPitchYaw method –Builds a rotation matrix based on a given pitch, yaw, and roll (Euler angles).
Axis-Angle转旋转矩阵：XMMatrixRotationAxis method –Builds a matrix that rotates around an arbitrary axis.
构造绕X/Y/Z轴的旋转矩阵：XMMatrixRotationX method –Builds a matrix that rotates around the x-axis.(Angles are measured clockwise when looking along the rotation axis toward the origin)

 　　下面的代码中坐标系绕X轴旋转90°（注意这里不是按照右手定则的方向，而是沿着坐标轴向原点看过去以顺时针方式旋转，因此与传统的右手定则刚好方向相反），来进行变换：

　　结果如下图所示:

 

参考：

quaternions.online

DirectXMath Library Quaternion Functions

Convert quaternion to euler rotations

Conversion between quaternions and Euler angles

Maths – Conversion Quaternion to Euler

Coordinate Transformations in Robotics—MATLAB

Introduction to Robotics – Mechanics and Control. Chapter 2 Spatial descriptions and transformations