一、Beta分布简介
Beta分布是一种概率分布，在概率统计中得到广泛应用。它是指定一组随机变量(概率)的概率分布。Beta分布可能是在区间[0,1]上的连续概率分布, 它取决于两个形状参数a和b。特别地, 概率密度函数为:
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6d736e2e6b2b440abc42f77566c656f0d75c33" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.348ex; height:6.176ex;" alt="f(x;a,b)=frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}" />其中B(a,b)为Beta函数(Beta function):
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444e39b256d13e7ccc0ea1638585ecebfa6f6370" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.722ex; height:2.843ex;" alt="B(a,b)=int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx" />二、Beta分布的应用
1、贝叶斯统计
Beta分布广泛用于贝叶斯统计中，其中Beta分布作为先验分布，表示一个概率的先验分布。在观察到数据后，根据贝叶斯定理，可以得到一个后验分布，减少了对数据量的依赖，同时考虑了经验信息和先验信息。比如，假设观测到一些二分类数据，并且对分类器进行训练，得到一个概率等于0.7的后验分布(Beta分布)。如果继续收集数据，可以使用Beta分布更新这个概率。
2、优化算法参数估计
Beta分布可以用于优化算法，例如评估二进制搜索特定问题的总运行时间。Beta分布可以描述一个结果最终有多大的概率会达到一定的被认为是“成功”的阈值。例如，一个网站希望将新用户转化为管理员，而管理员的转化率为0.3。将Beta分布作为转化率的概率分布，则可以通过数据不断更新这个概率的分布，优化转化率的估计。
3、广告点击率估计
Beta分布可以用于在线广告的点击率估计。可以将点击率看作一个二项分布，结合Beta分布得到更准确的后验分布，进一步优化广告策略。
三、Beta分布代码示例
#导入相关库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta
#设置Beta分布的参数
a, b = 2, 5
#随机生成符合Beta分布的样本
samples = beta.rvs(a, b, size=10000)
#画Beta分布的概率密度函数图像
x = np.linspace(0, 1, 1000)
y = beta.pdf(x, a, b)
plt.plot(x, y, label='Beta PDF')
#画随机生成的Beta分布的样本的直方图
plt.hist(samples, bins=100, density=True, alpha=0.5, label='Samples');
#显示图像
plt.legend()
plt.show()