Clarke变换(clark变换)

一、基本介绍

Clarke变换，也称为αβ转dq转换，是一种常用于交流电机驱动控制的数学变换方法。该变换由英国人J.Clarke于1972年提出，是一种将直角坐标系（abc）转换至旋转坐标系（dq）的方法，同时将其在Matlab中加以实现。通过Clarke变换，可以将三相交流电系统中的三相信号转化为两相的等效信号，方便交流电机的矢量控制。

Clarke变换在交流电机驱动控制的应用十分广泛，常用于解决电机驱动中的功率因数、无功功率、有功功率、电流谐波、以及电流平衡等问题。 现在已广泛应用在电机驱动器控制、静止变流器控制、有源滤波器等领域中。 此外，Clarke变换也是Park变换的基础变换，可以在Park变换中起到非常重要的作用 .

下面我们将从几个方面对Clarke变换进行详细阐述。

二、公式推导

Clarke变换主要是通过对三相电压或电流进行转换来实现在dq坐标系下等效表述。在Clarke变换中，将abc三相信号描述成两个分量——a分量和-2b分量（b分量的系数加了一个负号），然后能够方便地将它们变换到dq坐标系下。

Clarke变换公式如下：

% input: a, b, c (三相电流或电压)
% output: alpha, beta (α, β坐标系下的等效电流或电压)
%        -> 矩阵运算可以同时处理多个点
function [alpha, beta] = clarke_transform(a, b, c)
  alpha = a;
  beta = (2*b + c)/sqrt(3);
end

其中，任意一个三相信号{a,b,c}可以表示成联立方程组：

然后，我们就可以将这个方程组变换为如下的αβ坐标系模型：

因为变换之后得到的结果是一个二维向量，α轴垂直于C相，β轴倾斜60度与平行于C相的线之间。

三、Matlab实现

Matlab中利用Clarke变换可以方便地进行三相电机控制。下面是利用Matlab中的Clarke变换实现一个简单的三相电机控制的示例代码：

% d轴电流、q轴电流、电机转速
Id = 2;
Iq = 8;
omg_e = 2000;
 
% Clarke变换，将三相电流转换到dq坐标系
Ia = Id*cos(omg_e*t) - Iq*sin(omg_e*t);
Ib = Id*cos(omg_e*t - 2*pi/3) - Iq*sin(omg_e*t - 2*pi/3);
Ic = Id*cos(omg_e*t + 2*pi/3) - Iq*sin(omg_e*t + 2*pi/3);
[Ialpha, Ibeta] = clarke_transform(Ia, Ib, Ic);
 
% Park变换，将dq坐标系下的电流转换为电机内部坐标系下的电流
[Idq, ~] = park_transform(Ialpha, Ibeta, omg_e, t);

其中，Id和Iq是电机的d轴和q轴电流，omg_e是电机的旋转速度，Ia、Ib和Ic是电机的三相电流，α和β是Clarke变换变换后的二维向量。

在电机控制中，我们需要通过Clarke和Park变换把abc坐标的三相电流转换到dq坐标下来，并在dq坐标下对电机进行控制。其中，在Park变换中需要考虑电机旋转速度的影响，因此常被称为dqsis坐标系。下面将介绍Park变换。

四、相似变换-Park变换

Park变换常被称为dqsis坐标系，是为了更好地描述旋转变量对于交流电机的影响而提出的。Park变换将dq坐标系下的变量转变为电机内部坐标系下的变量。

Park变换公式如下（其中，theta是电机的旋转角度）：

% input: dq坐标系下的信号(a, b, c)
%        omg_e 是电机旋转速度
%        theta 是时间 t 处电机的位置
% output: dqsis坐标系下的信号(d, q, s, i)
function [d, q, s, i] = park_transform(a, b, omg_e, theta)
  s = sqrt(2/3)*(a*sin(theta) + b*cos(theta));
  i = sqrt(2/3)*(-a*cos(theta) + b*sin(theta));
  d = s*cos(omg_e*theta) - i*sin(omg_e*theta);
  q = i*cos(omg_e*theta) + s*sin(omg_e*theta);
end

Park变换可以将dq坐标系下的虚拟电机看做一个非常简单的电动机。在dqsis坐标系下，d轴与其方向重合，q轴以与电动机旋转角度纵向高大60度的角度旋转。d轴的电流代表电动机的磁场，q轴的电流则代表电动机的扭矩。因此，利用Park变换可以轻松地控制交流电机。

五、应用实例

在交流电机控制系统中，Clarke变换经常被用来处理无功功率、电流谐波、有功功率、电流平衡等问题。在实际使用时，通常需要改进Clarke变换，以应对特定问题。下面是一些常见的改进方法：

1. 空间矢量平衡改进：用于降低电机旋转时所产生的电流谐波。该方法通过将失衡的空间矢量补偿，实现了将电流在dqsis坐标系下晃动的效果，从而降低了电流谐波。
2. 多相变换改进：实际控制系统常常涉及到不是3相交流电源的情况。该方法通过对电压或电流进行变换，将多相交流电源转换为3相交流电源。通过该方法，可以将Clarke变换扩展到更多的交流电机控制系统中。
3. 基于分段函数的改进：适用于在整个电压或电流变换范围内都存在非线性因素的情况。该方法将非线性因素分段处理，然后利用Clarke变换对每个线性范围进行变换，从而获得更为准确的结果。

总之，Clarke变换的应用既简单又广泛，为工业生产中的电机控制提供了有效的解决方案。