一、什么是灵敏度分析
在数学建模中，我们经常需要通过建立数学模型来解决具有现实意义的问题。然而，在建立数学模型的过程中，我们需要对各种参数进行估计，而这些参数值的可靠性直接影响到模型解的准确性。因此，我们需要进行灵敏度分析来研究参数值变化对模型输出结果的影响。
简单来说，灵敏度分析可以帮助我们评估模型的脆弱性，发现哪些参数对模型的解有着最大的影响，从而为进一步的优化、调整提供科学依据。
二、灵敏度分析的方法
灵敏度分析的方法有很多种，下面列举几种常用的方法：
1、一维敏感性分析
一维敏感性分析方法是指在模型中只改变某一个变量的值，而保持其他参数不变，来观察模型解的变化情况。这种方法简单直接，易于计算，通常用来评估某一个变量对模型解的影响程度。
代码示例：
from scipy.optimize import fsolve
#定义模型
def func(x):
y = x**2 - 2*x -3
return y
#设置变量xt，通过改变xt的值对模型进行敏感性分析
xt = 0
#计算一维敏感性分析结果
result = fsolve(func, xt)
print(result)
2、二维敏感性分析
二维敏感性分析方法是指在模型中同时改变两个变量的值，而保持其他参数不变，来观察模型解的变化情况。与一维敏感性分析相比，二维敏感性分析方法可以考虑变量间的相互影响。
代码示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#设置变量范围和步长
x = np.arange(0, 10, 0.1)
y = np.arange(0, 10, 0.1)
#定义模型
def func(x,y):
z = np.sin(np.sqrt(x**2 + y**2))/np.sqrt(x**2 + y**2)
return z
#画出二维敏感性分析图
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = func(X, Y)
plt.contourf(X, Y, Z)
plt.colorbar()
plt.show()
3、参数分组法
参数分组法是指将参数按照一定的规则进行分组，然后分别计算各组参数的敏感度指标。这种方法可以避免受到单个参数值的影响，更加全面地评估模型的参数脆弱性。
代码示例：
import pandas as pd
import numpy as np
#读取数据
data = pd.read_csv("data.csv", index_col=0)
#参数分组
group1 = data.iloc[:,0:3]
group2 = data.iloc[:,3:6]
group3 = data.iloc[:,6:9]
#计算各组参数的敏感度指标
mean1 = np.mean(group1)
mean2 = np.mean(group2)
mean3 = np.mean(group3)
print(mean1, mean2, mean3)
三、如何应用灵敏度分析
灵敏度分析在数学建模中应用广泛，具体包括：
1、优化参数估计
通过灵敏度分析，我们可以评估各个参数的重要程度，为进一步的参数优化提供依据，从而提高模型预测的准确性。
2、检验模型可靠性
通过灵敏度分析，我们可以检验模型对观察数据的敏感性，评估模型的可靠性。如果模型对数据非常敏感，那么我们需要重新考虑模型的结构和参数，以提高模型的鲁棒性。
3、优化模型设计
通过灵敏度分析，我们可以识别影响模型解的关键因素，为设计更优的模型提供依据。如果我们希望减少模型解的方差或者提高模型的鲁棒性，那么灵敏度分析也可以提供帮助。
4、支持决策制定
通过灵敏度分析，我们可以评估不同决策情境下模型预测的稳定性，帮助决策者在制定决策时考虑未来的潜在风险，从而提高决策的质量。