之前我们写过了《三维人脸重建入门》，接下来，自然就是入门之后的事情。当然了，不管是一个什么项目，方法永远不会是唯一的。
一 引言
To my best of knowledge，如之前所说，三维人脸重建方法分为三大类：(1)专业仪器采集；(2)专业人士处理；(3)图像处理方法。
第三类，也就是基于图像的三维人脸重建，才是我们关心的问题，那么第三类又有哪些方法呢？
To my best of knowledge，分为几下几个方向：
(1) 基于立体匹配的方法;(2) 基于3D Morphable Model的方法;(3) 基于Structure from Motion与光流的方法; (4) 基于structure from shape等方法。
事实上，上面的各种方法之间会有交叉，并没有一个完整的界限，之所以分开是为了学习的方便。本篇要学习的，就是基于3DMM的方法。
在引出3DMM之前，有一个概念引出，看下图： 
上图，是英国人做的绘制各国女性平均脸的实验。平均脸，无需多加解释，就是综合了所有图片得到的一个平均特征。当然，在二维人脸识别中更常使用的概念是特征脸，与这里的平均脸有一定的差异。
特征脸方法的思想是：利用训练人脸图像样本集，找到一组标准正交基，将人脸线性投影至由该组基组成的向量空间，从而每一幅人脸图像都可以由这组标准正交基线性表示。
什么意思？就是一幅人脸，可以由其他许多幅人脸加权相加而来，学过线性代数的就很容易理解这个正交基的概念。我们所处的三维空间，每一点(x,y,z)，
实际上都是由三维空间三个方向的基量，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)加权相加所得，只是权重分别为x,y,z。
基向量空间，个人觉得实际上是线性代数最核心的思想了。
转换到三维空间，道理一样。每一个三维的人脸，可以在由一个数据库中的所有人脸组成的基向量空间中进行表示，而求解任意三维人脸的模型，实际上等价于求解各个基向量的系数的问题。
二 3DMM
3DMM，全称3D Morphable Model，由文[1-2]提出。Blanz等人在这两篇文献中提出的3DMM方法，输入图像可以是单张正面的人脸图像，多张正面的人脸图像，或者用户交互输入的图像，其重建效果可见下图，图1.1为输入图像，1.2为输出结果。
图1.1
图1.2
图1.3
图1.3左上角为输入图像，右上角为重建结果，下面一排为改变图像的光照和姿态后的结果。
如果仅从上面的结果看，是不是会觉得非常惊艳？这还只是本世纪初的研究成果。当然，论文中呈现的结果，离实际工业应用往往还有很大的距离，毕竟文中只呈现好的结果，如果换张图效果可能就有非常大的差异。
下面从3个方面来介绍3DMM。
1. 数据库
前面说了，我们需要一个基向量空间，那么就需要一个数据库来建立该基向量空间。那么Blanz等人采用的数据库是怎样的呢？
a. 200个3D模型，也就是200张三维的人头部图像。100张男性，100张女性，年龄分布18~45岁。
b. 1张亚洲人脸，199张高加索人脸。
c. 采用结构光和激光进行采集，未处理前，每一个模型由70000个点描述，处理后由53490个点描述。
d. 在数据库的处理过程中，将所有模型的每一个点的位置都进行了精确一一匹配，也就是说，每一个点都有实际的物理意义，可能有右嘴角，可能是鼻尖。
该数据库的平均人脸形状和平均人脸纹理如下面所示：
左边是平均值，右边两行，分别是第1,2,3个主成分，+/-方差5所得的模型。从中可以看出，调整不同的人脸形状和纹理是很容易的。
接着上面的话题继续介绍数据库
e. 每一个模型包括的属性，性别，高度，宽度，年龄。有了这些属性之后，可以调整各个属性的系数，从而产生不同的人脸，看下图。
f. 不仅如此，为了更精确地重建，还讲人脸分为了4个区域，这样我们就可以分别对各个区域进行精确地重建，然后再融合。
g. 对于现在的人脸识别来说，最重要的就是特征点的标记，也就是landmarks，因为这些点在处理的过程中，意义相比其他特征不明显的点，更加明显。作者提供了两种特征点标记方法。 特征点可以干嘛？更方便地用于初始化。
2. 3DMM的基本原理
前面提到，一个3维的人脸，可以由其他人脸线性组合，这就是3DMM的核心思想。首先要说明的是，这个线性组合绝不是在笛卡尔坐标系下，也就是说不是拿采集的3D点的位置就直接进行线性组合。那么基向量从哪里来呢？相信熟悉的人都会想到，PCA。此处不会对PCA详解，不熟悉可以再去了解。
总之，PCA的功能就是，将数据从一个特征空间，转换到另外一个特征空间进行描述，放到高中数学，这样的思想其实有过。在平面直角坐标系下，圆的方程其实很不优雅，而转换到极坐标系下，则变得特别简单。
每一个模型都由很多点组成，每一点可以表为(x,y,z,r,g,b)，其中(x,y,z)是位置坐标，(r,g,b)是颜色。此处，我们将x,y,z称为形状向量，r,g,b称为纹理向量(忘掉颜色吧)。形状和纹理，实际上可以说是完全不相干的东西，前者决定了脸的轮廓，后者决定了脸的肤色等。当然，在两者的共同作用下，才会出现皱纹等效果。数学描述如下：
每一张人脸可以表示为：
形状向量Shape Vector：S=（X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2,…,Yn,Zn）
纹理向量Texture Vector：T=（R1,G1,B1,R2,G2,B2,…,Rn,Bn）
而一张任意的人脸，其等价的描述如下：
式1
其中，Si,Ti就是数据库中的第i张人脸的形状向量和纹理向量。
到这里，PCA似乎还没有派上用场？
在这里，首先要给大家灌输一个知识，那就是在解决实际问题的过程中，数据的预处理，其重要性并不比一个方法或者模型低，没有经过归一化的数据，可能会对方法的稳定性构成非常大的挑战。
上面的式子，可以转换为下面的形式，
式2
其中是Si,Ti的平均值，而si，ti则都是Si,Ti减去各自平均值后的协方差矩阵的特征向量，而且是根据i降序排列的，系数也不再是a，b而是α，β。等式右边仍然是m项，但是累加项降了一维，减少了一项。如果原始的数据，为零均值或者已经做过去均值处理，那么这个式子的表达与式1还有什么区别呢？
区别就是：
si，ti都是线性无关的，而Si,Ti则不一定。取si，ti的前几个分量可以对原始样本做很好的近似，而Si,Ti则不行，因为si，ti是按照携带信息的重要性降序排列的，而重要信息往往掌握在少数的向量中。虽然本数据库只有200张图像，但是如果每一个分量都用上的，a就有两百个参数需要估计，而式2表现的形式可能只需要取前几个分量，从而大大减少参数的数目，并不失精度。
3. 3DMM如何恢复形状和纹理
这才是最重要的问题对不对，有了上面的模型之后，怎么从一张图片从恢复出形状和纹理呢？
首先，我们的输入只是一张图像，需要把它变成3维的模型，本身就是个病态问题，说人话就是：此问题无解，因为可以有无穷多个解。但是现实是，就算没有解的方程，我们仍然需要去求解。
思路是这样的；
(a) 初始化一个3维的模型(需要初始化内部参数α，β)，初始化外部参数，包括相机的位置，图像平面的旋转角度，直射光和环境光的各个分量，图像对比度等等，共20多个位置参数，当然初始化需要有一定的技巧。
(b) 在初始参数的控制下，经过3D至2D的投影，即可由一个3D模型得到2维图像，然后计算与输入图像的残差。再以其误差，去反向传播调整相关系数，调整3D模型，不断进行迭代。
现在我们遇到的绝大多数问题，都是在迭代中求解最优解，上面的过程被称为Analysis-by-synthesis，不知道该怎么翻译好，总之就那么个意思吧。
具体的迭代细节和方法，不是此处可以说明白的，可以参考下面的文献，其中会牵涉到梯度下降法，Phong光照模型，贝叶斯理论等。
4. 3DMM到底如何
上面其实已经展示了一些结果，下面就最新的一篇文章【3,4】分析一下方法的效果。
这里就不完整的介绍论文，基于上面的3DMM模型，该论文具体采用了这样的一些技术：
(1) cascaded regressor。级联回归器，是该文章用于进行参数迭代的方法。输入为若干个训练好的弱回归器，和一个初始化的模型。
(1) regressor的输入是串联起来的关键点的局部SIFT特征向量。
值得一提的是，该方法的结果是实时的，而不像原始的3DMM方法处理时间是以分钟为单位，输入可以是图像或者视频。
三 后记
很多人都觉得，2016年是VR的元年，那么我相信，3D人脸重建，一定是必不可少的一环。
四 参考文献
【1】Blanz V, Vetter T. A morphable model for the synthesis of 3D faces[C]//Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., 1999: 187-194.
【2】Blanz V, Vetter T. Face recognition based on fitting a 3D morphable model[J]. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 2003, 25(9): 1063-1074.
【3】Huber P, Feng Z, Christmas W. Fitting 3D Morphable Models using Local Features[J]., 2015.
【4】Huber P, Guosheng Hu, Rafael Tena. Etc. A multiresolution 3D morphable face model and fitting framework. 2016