(A3)理解反函数和单调函数。
在上一篇文章中，我们介绍了反函数和单调函数，它们属于函数的自然范畴，就像每个人都有两只手和两只脚一样。这一次，我们将具体了解接下来的六个基本功能，就像详细看男人、女人和孩子一样。可以说，既然我们需要理解微积分，这六种基本函数无论如何也避免不了，因为微积分处理的函数对象基本都是由这六种演变而来的。
光看配方，没太大感觉。我在WA的帮助下很快画出了下面这张图。在这里，我暂定a=2。
(1)常量函数：虽然简单，但必不可少。当我们到了一定的年龄，我们的身高基本上变成了一个恒定的函数。坐标轴对应于平行于X轴的直线。
(2)指数函数：还记得小时候的一个故事吗？一个地主分了财产，小儿子说我只需要把米粒铺在棋格里，只要我遵循这个规律：第一格一粒，第二格两粒，每格米粒数是前一格的两倍。头晕的蜜蜂不假思索地同意了，当它们真的得到它时，它们目瞪口呆。你为什么目瞪口呆？我们来算一下：象棋中有64个方块，第一个方块中有一个是2.0个方块；第二格放2粒，即2 1粒；最后一格放2.63粒；所有米粒的和是一个几何级数和s=2 0 2 1.2 63=2 64;百度查了一下，一斤大米大概有五万粒，一吨大米有一亿粒。除了一件事，小儿子最终能拿到1.810 ^ 11吨，也就是1800亿吨，这就是指数的力量！
另外，现在有一种说法叫指数增长，其实并不准确。还得加上基数大于1，小于1就变成指数衰减。下图：
指数基a=2和a=1/2
Wolframalpha Tip :如果只是想画个图不想看其他内容，可以用plot=2 x来实现。如果要同时观察两个图形，可以在两个函数之间添加英文AND，例如：plot 2 x和(1/2) x。
(3)对数函数：在上一篇文章中，我们谈到了反函数。对数函数是指数函数的反函数。我们已经知道，两个反函数关于y=x是对称的，如图所示：
直觉上，对数函数必须对应指数函数。那么我们已经有了一个指数函数。为什么要创建对数函数？事实上，我们可以看到对数函数和指数函数的单调性是一致且密切相关的，这为求解计算提供了一种简单的方法。以一个栗子为例：地球到太阳的距离是1.519 * 10 ^ 8km，换算成自然对数值18.839，一下子减少了很多。减少的意义在于大大减少了计算时间，提高了效率。特别是对数函数独特的计算规则，可以将乘除转换为加减，大大提高了效率。总之，在处理大数时，对数函数。
Wolframalpha tip :对数函数的基数可以直接对数跟上数字。例如，对于基数为2的对数函数，可以输入y=log2(x)，特别是对于自然对数，可以输入y=ln(x)。
(4)幂函数：幂函数的起源无法检验，但我们可以猜测它一定来自于实际情况并加以扩展。我们需要算出一排x个人，一共x列，有多少人，也就是x的二次幂(也就是平方)。我们需要计算长、宽、高为x米的房子的体积，是x的三次方(即立方体)。这样，我们只需要知道x，就有了相应的幂结果，变成了幂函数。和指数函数一样，单调性和增减幅度随基数不同而变化很大，如图：
这里只画了第一象限。
Wolframalpha Tip :当需要同时绘制多个函数图时，可以使用“{}”。例如，上图使用了以下命令：绘制{x 2，x 5，x (1/2)，x (1/5)，x (-1/2)，x-2。
(5)三角函数：这是中学说过n遍的东西。其实是为了方便角度和边长之间的计算。举个栗子：太阳以与地面成30度角照射在你身上。你身高1.8米，影子长度是1.8*cot30或者1.8*cot(Pi/6)。有四个主要的三角函数：si
nx、cosx、tanx，cotx。其实只需要知道一个，就能够推出其他三个，但为什么还要搞出这另外三个呢？我们可以这样理解，乘法不就是优化了的加法吗？所以一切就是为了方便再方便而已。对于三角函数，强烈推荐使用单位圆辅助记忆及公式间推导。单位圆我会另作一篇进行介绍。三角函数讲个历史小故事：我们现在都叫的勾股定理或者长情的发箍定理，其实早在西周就有个叫商高的人发现了，比长情的发箍整整早了500年。
（6）反三角函数：和指数函数与对数函数一样，反三角函数就是三角函数的反函数。主要也是四个：arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx。可以这样理解，三角函数是为了已知角度求边长，反三角函数就是为了已知三角函数值求角度，前面的arc古代意思为弓弦，也就引申为弧度。需要什么，就创造什么，这就是历史的规律。
可以看到，在WA中，arcsinx就是被解析成sinx的反函数
认识了这六个基本初等函数，下一篇就要进行下升华，从这六个基本初等函数变化出简单初等函数和初等函数，而这些函数特有的优质特性，也是微积分利用到的，另外插一句，微积分之所以看重这六类基本初等函数，就是因为现实世界的抽象大都汇聚于此。
我是WA小刀，如果觉得我写的还行，请关注支持下，也鼓励下我不断前行。
（A5）认识下简单初等函数和初等函数