也有去除体积的方法。 通常比上一篇文章的方法更有用。
为了理解该方法，考虑图1的左侧所示的区域，即第一象限轴和由曲线y=f(x )包围的区域。 当该区域以x轴为中心旋转时，在图中的垂直窄带上生成圆盘，在x=0到x=b的区间内对这些圆盘的体积进行积分，可以得到总体积。 当然，这是上一篇文章中说明的圆盘法。 但是，当区域绕y轴旋转时，如图中央，我们得到了完全不同的物体，在垂直窄带上形成了薄圆柱壳。 这个外壳可以看做罐头，但上面和下面被去掉了，或者是薄纸板。 其体积dV本质上是内圆柱的表面积(2xy )乘以厚度(dx )而得到的
dv=2xydx(1) )。
该壳的半径x从x=0增加到x=b，从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿轴向外充满了整个物体。 因此，总体积是dV体积元之和-或积分
v=dv=2xydx=b02xf(x ) dx )2)
这里，y=f(x )原则上也可以用在水平窄带中得到的水平圆盘计算体积v； 但是，可以看出，这非常困难，因为给定的方程y=f(x )不能用y表示x。
图1
与其他积分应用一样，等式(1) )将涉及极限的复杂过程变为简洁的表达式，但为了清楚起见，将忽略该过程的细节。
建议不要像以前一样背诵公式(2)。 这个公式和对应的圆盘法公式很相似，如果只是死记硬背的话，很容易把他们混合起来打字，变得自信。 更好的方式是绘制图，从图中可以看到的信息直接构建(1)，对形式)进行积分。 另外，该方法的更大优点在于不依赖特定的符号，能够容易地将基本思想应用于旋转各种轴而得到的物体。
例1:上一篇文章用圆盘式方法计算了球体的体积。 现在用圆柱壳法解决这个问题(图2 )。 图中所示壳的体积
dv=2x(2y ) dx=4xa2x2dx
所以球体的体积
v=4a0xa2x2dx=4(13 ) a2x2)3/2；A0=43；a2x2)3/23 ) ) a0=43a3
图2
另外，考虑一下直径为a的垂直孔通过球中时，如何找到其馀体积的问题。 因此，显然积分dV区间从x=a/2变为x=a
v=4aa/2xa2x2dx=43(a2x2 )3/2) aa/2=43) 34a2 )3/2=43(338a3 )=3) 2a3 )
这个问题可以用垫圈法解决，不是圆柱壳法更方便。
例2: y=x2上和y=2×2下在由第一象限包围的区域中绕y轴旋转(图3 )。 为了用圆柱壳法求出体积，从观察可知壳的高度为y=(2×2 ) x2=22×2，因此
dv=2xydx=2x(22×2 ) dx=4x (xx3 ) dx
由于曲线交点位于x=1
v=410(xx3 ) dx=4(12x 214 x4 ) ) (10=
大家经常把错误的积分区域从x=1设定为x=1。 这种不准确的原因可以从几何学上理解，圆柱壳从轴向外侧横穿的物体半径从0增加到l，而不是从-l增加到1。
请注意，如果试图用圆盘法解决这个问题，则需要计算两个积分。 一个是曲线交点下的体积，另一个是上的体积。
图3
例3:血流量。 人类身体的主动脉-主动脉-是管道，有人类拇指那么大。 心脏跳动使血液通过动脉，接近中心的血液粒子移动速度约为50cm/s(20in/s )。 而血液为粘稠液体，动脉壁附近血有固着于血管壁的趋势，因此速度基本为零。 在这些情况下，计算总流量的问题需要用圆柱壳法积分得到。
从非常简单的想法开始吧。 液体以一定速度s0流过圆柱管时，单位时间内通过某处的液体体积(流量f )为s0A，a为血管的截面积(图4 )。
但我们知道人体动脉中的血液流动比这复杂得多。 假设动脉为圆柱形，长度为l半径为r (图5 )。 由于上述粘度，血液在薄圆柱内流动，每层移动速度基本恒定，每层速度不同。 这就是所谓的层流流动，血液在靠近动脉壁附近流速慢，在中心位置流速快(如图5所示)，内部层就会滑向外部前面(图6 )。
速度s和距离中心
距离 r 之间的确切关系是
s=P4ηL(R2−r2)(3)
图4
其中 P 是动脉之间的压力差，η是血液的粘度。我们注意到，如果速度 r=R ，那么速度为零；如果 r=0 ，那么速度最大为 PR2/4ηL 。通常用厘米 (cm) 来度量 R,r,L ，用 dynes/cm2 来度量 P ,dyne−s/cm2来度量 η ，这样的话 cm/s 度量 s 。对于人体而言一般R=0.2 cm，常数 P/4ηL 是500。根据这些值(3)变为
s=5000(0.22−r2)=20−500r2cm/s(4)
图5
图6
这个函数图像时抛物线的一部分(图7)并且它还说明随着血粒子靠近血管壁，它的速度趋近于零。中心的速度为 20 cm/s ，但是当 r=0.15 时，速度只有 s=20−500(0.15)2=8.75 cm/s 。
图7
现在，为了计算流量 F (单位时间通过某处的总体积)，我们写出半径为r厚度为 dr 的圆柱壳的流量元 dF ：
dF=s⋅2πrdr=P4ηL(R2−r2)⋅2πrdr=πP2ηL(R2r−r3)dr
剩下的工作是将所有的壳加起来，即从 0 到R进行积分：
F=∫dF=∫R0πP2ηL∫R0(R2r−r3)dr=∫R0πP2ηL(12R2r2−14r4)∣∣R0=πP8ηLR4
这个公式
F=πP8ηLR4(5)
心血管生理学领域叫做 Poiseuille′s law 。它表明流量与动脉半径的四次方成正比，所以半径增加一倍流量要乘以16。