关于NP与co-NP、RP与coRP的理解

在相信大多数人在接触计算复杂性领域时，都会被P、NP、NPC、NP-Hard、co-NP、RP……的等一系列困难问题的各种分类搞蒙。关于基本的定义，例如什么是P类问题什么是NP类或者NPC类问题，网上有很多很好的回答，我就不介绍了。这篇主要讲什么是co-NP以及如何理解它。

定义

语言$L$属于$coNP$当且仅当$L$的补集L‾∈NP\overline{L}\in NPL∈NP。

这么简短的一句话该如何理解？若要证明一个问题属于$coNP$，根据定义就是证明它的补问题属于$NP$，那语言$L$的补集又是什么样子的？该如何描述？这些是我看到这个定义时的疑惑，然后我就进行了一些思考。

从$NP$出发

我们回想一下NP类的定义：所有非确定图灵机在问题规模的多项式时间内可判定的语言类。或者描述为确定性图灵机在多项式时间可验证的语言类。

我们以SAT问题为例来理解一下（众所周知SAT是第一个NPC问题当然也是NP问题）：任给一个布尔表达式，是否存在一个赋值使得表达式结果为true。

根据NP定义，给出布尔表达式的一个yes实例，显然，我们可以在多项式时间验证这个实例是不是能够让表达式结果为true(直接代进去计算就行)。

unSAT问题(有时也写作coSAT)：任给一个布尔表达式，它是否是不可满足的（任意赋值都不会让表达式输出true）。这是一个$coNP$问题，因为它的补问题SAT问题是NP问题。

从这个例子中可以体会：①什么是补问题②根据补问题与原问题的关系可知，如果一个问题属于$coNP$，那它的no实例可以在多项式时间被确定性图灵机验证。这个方式也可以用来证明一个问题是不是属于$coNP$。

$coNPC$

类比$NPC$的定义，我们容易理解$coNPC$：语言$L\in coNPC$当且仅当
①$L\in coNP$；
②任何$coNP$问题可以在多项式时间内归约(这里的归约默认都是Cook归约)到$L$

$NP$和$coNP$的关系

1. $P\subset NP$且$P\subset coNP$：$P$类问题可以多项式时间求解，当然它的yes实例和no实例都可以在多项式时间被验证。

2. 一般认为$NP\ne coNP$，所以$NPC\not\subset coNP$且$coNPC\not\subset NPC$：这个是可以证明的。

   假设$NPC\subseteq coNP$，那么所有的$NP$问题可以归约到$coNP$，即$NP\subseteq coNP$；另外，若$L\in CoNP$，则L‾∈NP⊆coNP\overline{L}\in NP\subseteq coNPL∈NP⊆coNP，那么L‾‾=L∈NP\overline{\overline{L}}=L\in NPL=L∈NP，即$coNP\subseteq NP$；综上$NP=coNP$。这与$NP\ne coNP$矛盾。

3. 存在语言(问题)$L\in NP,L\in coNP$且$L\notin P$。这意味着$P\subset NP\cap coNP$。

   例如大整数分解问题：任给整数$m$和$n$，问$m$是否存在大于1小于$n$的因子。

   ①这是NP的：给出一个yes实例，直接用m除一下就知道了。

   ②这是$coNP$的：思路一是给出这个问题的补问题（任给整数m,n，问m是否不存在小于n的因子），这个补问题的yes实例，可以通过AKS素性检测在多项式时间验证。思路二是直接看原问题的no实例：给整数m和n，其中m不存在小于n的因子，是否能在多项式时间验证出来。这和补问题的yes实例是一样的。

$RP$和$coRP$也是一样的理解

$RP$问题：语言$L\in RP$当且仅当存在随机多项式时间算法$A$，对$L$的yes实例$x\in L$，随机数$r$，有Pr(A(x,r)=1)≥12Pr(A(x,r)=1)\ge \frac{1}{2}Pr(A(x,r)=1)≥21​；对no实例$x\notin L$，随机数$r$，有$Pr(A(x,r)=0)=1$。

$coRP$问题：语言$L\in coRP$当且仅当存在随机多项式时间算法$A$，对$L$的yes实例$x\in L$，随机数$r$，有$Pr(A(x,r)=1)=1$；对no实例$x\notin L$，随机数$r$，有Pr(A(x,r)=0)≥12Pr(A(x,r)=0)\ge \frac{1}{2}Pr(A(x,r)=0)≥21​。

初看这个定义觉得很不好理解也不好记忆，利用$NP$和$coNP$的关系来理解后，一切开朗了。

第一步：先理解（记住）好$RP$。既然是$RP$，yse实例求解就是概率性的，所以对$x\in L$，正确判断的概率是某个数(习惯写为≥12\ge \frac{1}{2}≥21​)；而对于$x\notin L$，一定能够正确判断的。

第二步：推出$coRP$。若$L\in coRP$，则L‾∈RP\overline{L}\in RPL∈RP。也就是说x∈L‾(x∉L)x\in \overline{L}(x\not\in L)x∈L(x​∈L)，真确判断是概率性的；而x∉L‾(x∈L)x\not\in \overline{L}(x\in L)x​∈L(x∈L)，一定能够正确判断。这句话翻译过来不就是若$x\in L$，$Pr(A(x,r)=1)=1$；若$x\notin L$，Pr(A(x,r)=0)≥12Pr(A(x,r)=0)\ge \frac{1}{2}Pr(A(x,r)=0)≥21​。