kt条件介绍最近学习的时候用了优化理论，我没有太多这方面的理论基础。 于是翻了很多大神的博客，在这个博客上记载了容易理解的内容。 因此，这是一个总结博客，不是所有的原创，但基础理论也是一样的吧。 因为是浅学，如果有错误的话请指出来。
kt条件是解决最优化问题时使用的方法。 这里所说的最优化问题，通常是指对于给定的函数，求出指定范围上的全局最小值。 说到KKT条件，一般会提到附带的拉格朗日乘数。 对于学高等数学的人来说，拉格朗日乘数应该有点印象。 两者都是求解优化问题的方法，不同之处在于应用的情况不同。
一般来说，优化问题会遇到以下三种情况。
(1)无约束
这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量进行导数，导数等于0的点可能是极值点。 将结果带回原函数进行验证即可。
(2)等式约束
设目标函数为f(x )，限制条件为hk ) x )，则如下
s.t .是subject to，“被限制”的意思，l表示有l个限制条件。
解决方法为消元法或拉格朗日法。 消元法比较简单，所以不赘述，拉格朗日法在这里提到。 因为后述的KKT条件是对拉格朗日乘数的泛化。
定义了拉格朗日函数f(x )，
这里k是各约束条件的未定系数。
然后求解变量的偏导方程：
……
如果有l个约束条件，应该有l 1个方程式。 的方程的解可能是优化值(高等数学中的极值)，将结果带回原方程进行验证即可得到解。
为什么可以求解优化呢？ 维基百科有更好的直观说明。
举个二维优化的例子：
minf(x，y ) )。
s.t.g(x，y )=c
在此引出z=f(x，y )等高线(函数的等高线定义：二元函数z=f ) x，y )用空间表示的是曲面，将该曲面与平面z=c的交线在xoy面上的投影曲线f(x，y )=c作为函数z=f ) x，y ) ) :
绿线显示了受约束点的轨迹。 蓝线是等高线。 箭头表示倾斜度，与等高线的法线平行。 从坡度的方向看，明显有。 绿线是约束。 也就是说，只有正好落在这条绿线上的点可能是满足要求的点。 如果没有此约束，的最小值应该最接近zjdby圆等高线内部的某个点。 现在有了限制，最小值应该在哪里呢？ 的等高线应该正好与约束线相切。 只是相交意味着在等高线内部或外部存在其他等高线。 因此，新等高线与目标函数的交点的值会更大或更小，只有在等高线与目标函数的曲线相切时才能获得最佳值。
如果也计算约束的梯度，则该梯度由图中的绿色箭头表示。 显而易见，要使目标函数的等高线和约束相切，它们的切点梯度必须在一条直线上。
即，f(x，y )=) g ) x，y )-C ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
这里，也可以是0以外的实数。
一旦求出的值，并将其应用于下式，就容易求出没有限制的极值和与极值对应的点。
这就是拉格朗日函数的由来。
)3)不等式约束条件
也有添加作为目标函数f(x )，不等式制约作为g ) x )，上式制约条件h ) x )的教程。 此时的制约最优化问题记述如下。
定义不等式约束下的拉格朗日函数l后，l表达式为：
这里，f(x )是原目标函数，HJ (x )是第j个等式约束条件，j是对应的约束系数，gk是不等式约束，uk是对应的约束系数。 0
此时，要解决上述优化问题，必须满足以下条件(也是我们求解的条件)。
这些求解条件是KKT条件。 (1)是拉格朗日函数取极值时带来的必要条件之一，(2)是拉格朗日系数约束)同等式的情况，(3)是不等式约束的情况，(4)是互补松弛条件，(5)，(6)是原来的约束条件。
对一般的任意问题来说，KKT条件是使解组达到最优解的必要条件，当原问题是凸问题时，KKT条件也是充分条件。
关于条件(3)，在下一篇博客中解释说，构建l(x，，u )函数是希望l ) x，，u )=f ) x )的) min求出最小值)。 在l(x，，u )式中第二项为0，为了使第三项为0以下，必须使系数u=0。 即条件)3)。
关于条件(4)，直观地说明一下，求出l(x，，u )的最小值必须在3个公式项中取最小值。 此时，3项最小的时候是0的值。 稍微正式说明一下，是从缓和变量推导出来的。
举个简单的例子：
现有不等式约束的优化问题：
此时，通过引入松弛变量可以将不等式约束变为等式约束。 将a1和b1作为2个缓和变量，上述不等式制约可以写成以下内容
这个问题的拉格朗日函数如下
基于拉格朗日乘子法求解方程：
如果是这样的话
同样，设u2b1=0，分析g2(x )作用时和不作用时的约束。
因此提出条件：
kt条件介绍完毕。