编者注：数学史上最引人注目的公式之一是欧拉发现，后来为印度天才数学家cjddr重新发现的如下结果。
是的，没错！ 这是一个通用公式，被称为“科学中最引人注目的公式”。
cjddr在他的笔记本里导出了这个很棒的公式
这里的123…不是我们通常理解的无限和，如果赋予适当的意义(重新定义)就会得到负数。 数学家虽然没有疯，但是使用了不恰当的旧符号。 要理解那个就需要黎曼的泽塔函数！ 例如，再得到所有正整数的平方和、四平方和、六平方和等，全部为0。
今天，我们来看看日本著名的理论物理学家twdxs司是如何向中学生和大学生介绍这个了不起的公式的证明的。 以下段落为twdxs司的科普名作《超弦理论》 (优秀的科普书，作者twdxs司的一些科普书有中译本，很受读者欢迎，除本书外，还有《用数学的语言看世界》、《引力是什么》、《强力与弱力》 )的附录。 感谢图灵教育授权本期的发表。 ——痴情棒棒糖
() )
这是第4章中出现的欧拉公式，是将无数正整数相加得到负数结果的奇怪等式。 让我来介绍一下这个公式是怎么被要求的。
列举中学水平和大学水平两种推导方法。
中学数学的推导
首先介绍用中学数学引导的直观方法。 因为这是冒险的计算，所以重视数学严密性的人可能会觉得“这个方法有点不严谨”。 我在下半段，为这些读者做更准确的推导。
首先，使用中学代数，建立以下等式。
由于只要打开括号并依次展开，正负x的1次方、2次方、3次方就会相互抵消，所以如果将等式左边的右侧括号内与x的n次方相加，则等式右边会保留x的(n 1 )次方这一项。 也就是说：
在该等式中，假设-1×1，如果不断增大n的值，右边的将变为
的 )。
变小，当n增大到无限大的极值时，就变成0。 于是，
这里 )。
意思是无限加上x的幂。 如果将该等式的两边同时除以(1-x )，则为以下等式。
()) )是
其次，等式左边的平方是
依次展开，一个x的0次方、2个1次方、3个2次方、4个3次方……也就是说：
然后，等式右边的平方等于它。 也就是说：
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懂微积分的人应该知道，即使将等式②两边x进行微分，也会得到相同的等式。
欧拉假设上述等式中的x=-1，这就刚好打破等式②的前提条件“-1<x<1”，因此这是一种违规的做法。但是，经过这种尝试也发现了某些事实。当x=-1时，得到了以下的等式。
③
虽然数字的绝对值不断变大，但是由于正负符号的存在而相互抵消，最终得到了
这个答案。在数学中，这样的做法叫作“条件收敛”。
从数字的排列看，这个计算寻求的答案一目了然。如果将左边的负号都变成正号的话，就变成了“1+2+3+4+5+6+…”。
在等式③的左边，因为偶数位的数字前面是负号，所以将其变成正号后，就把应该减去的数字相加了。因此为了纠正这个错误，如果 我们将偶数位的总和扩大到 2 倍，就应该与原来的等式相等。即：
又因为
因此
因为这个等式与等式③的右边相等，所以两边都除以-3 后，将得到下面的等式：
这样我们就推导出了欧拉公式①。
大学数学的推导
但是，上述这种推导是不够严谨的。接下来，让我们用大学的解析开拓对其进行解释说明。然后再解释为什么中学数学的推导也是正确的。
为了更好地表述无限相加，让我们来看一下复数s的函数。
④
只要s的实部比1大，这个和就是一个有限的值。例如：
这个函数的计算是由17世纪的意大利数学家提出的，当时的顶尖数学家相继向其发出挑战，但都以失败告终。一个世纪以后，欧拉发现这个无限和等于6，当时28岁的他因此一举成名。
1859年德国的数学家skdmla（Bernhard Riemann）发表了题为“在给定大小之下的素数个数”的论文。他想到了这个函数的解析开拓，阐明了的值与的值之间的关系。只要使用黎曼的关系式，即使s的实部比1小，也能够计算的值。因此，这个函数被称为黎曼的
函数。
根据等式④，我们想要计算的 1+2+3+4+5+… 为，它与
的关系符合黎曼的关系式。因此，如果使用欧拉的成名作
，就会得出
的结果。
另外，黎曼的是为了调查质数的分布。在他 1859 年发表的论文中，黎曼提出了关于性质的一个猜想。黎曼的这个猜想尚未被证明，它是基础数学最重要的课题之一。大卫·希尔伯特（David Hilbert）于1900年提出的23个问题，以及克雷数学研究所于 2000 年公布的千禧年大奖难题都收录了这一课题。
为什么“中学数学的推导”是正确的
当我们使用中学数学推导欧拉公式的时候，会出现无穷大的问题。即便如此它仍然正确的理由如下。让我们再想一个与刚才定义的函数相似的函数。
只要s的实部大于1，和就都是有限的值。这时，模仿中学数学的推导方法，就变成了下面的形式。
在这个算式中，只要s的实部大于1，在数学上就是严谨的。一般情况下，两个函数之间的关系即使经过解析开拓也不会发生改变。因此，当s的实部比 1 小的时候，解析开拓后的和之间也同样符合上面的关系式。如果关系式中的s=-1，就变成了中学数学推导出的等式。
由此可见，计算与刚才完全相同，不同的是s的实部比1大，和为有限的值时，推导出了关系式。和的关系也可以通过解析开拓而推导出来。因此，中学数学的推导是正确的。
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