1. wiener Processes （xsdjmg过程）
33558 www.Sina.com/: anyvariablewhosevaluechangesovertimeinanuncertainwayissaidtofollowastochasticprocess.stochastic协议
随机过程是指变量随时间变化，这种变化是不可预测的。 随机过程分为离散时间和连续时间两种。
33558 www.Sina.com/: aparticulartypeofstochasticprocesswhreonlythecurrentvalueofavariableisreleventforpredictingthefuture
这符合市场行情(弱式市场假说)，如果能够根据过去的数据预测未来的股价，很多人就会据此获利，买入预期上涨的股票，这些股票价格暴涨，原来的patteted
股价波动量一般服从正态分布，可以定义马尔可夫过程的股票，后续波动服从正态n(m，v )分布。 这里，m是平均，v是方差
例：股票现价为10，一年波动符合n (0，1 )时，两年波动符合n (0，2 )，均值为0，标准差为1和2
33558 www.Sina.com/: it’saparticulartypeofmarkovstochasticprocesswithameanchangeofzeroandavariancerateof 1.0 per year。
xsdjmg工艺是上述一年的变动符合n (0，1 )的特殊马尔可夫工艺
如下式所示，z是变动，适合标准正态分布n (0，1 )，t是时间变动
对于两个不同的t时间间隔，他们没有关系
于是，有：
z的平均值为0
z的标准偏差为t
z方差为t
z符合马尔可夫过程
从我们一年的股价变动来看，应该是把每t的变动相加而成的。 t越小出现的图应该越细，但每t跳一次(jagged )。 这是因为对每个t标准偏差为t，t越小，t比t大很多。
写一个python程序验证一下xsdjmg流程：
importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltimportmathdayscount=1000 days=NP.arange (0，dayscount， 1 ) changes=NP.arange 1) NP.sqrt(1/dayscount ) prices=NP.zeros (days.shape ) prices[0]=10forindexinrange
通用wiener流程(广义xsdjmg流程):thegeneralizedwienerprocesshasanexpecteddriftrateofaandavariancerateofb2(平方) )
广义xsdjmg过程是xsdjmg过程的扩展，在xsdjmg过程中加入趋势项a，将原始xsdjmg过程作为变量路径上的扰动加入。Stochastic processes(随机过程）
公式如下。
x平均为at
x标准偏差为bt
x的方差为b^2t
比较一下xsdjmg进程a=0.2，b=1.5。
代码：
importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltimportmath # wienerprocessdayscount=1000 days=NP.arange (0，dayscount，1 )
m.randn(daysCount – 1, 1)*np.sqrt(1/daysCount)prices = np.zeros(days.shape)prices[0] = 10for index in range(changes.shape[0]): prices[index + 1] = prices[index] + changes[index][0]plt.plot(days, prices, label = “Wiener Process”)#Generalized Wiener Processa = 0.3b = 1.5deltaT = 1/daysCountchanges_g = a*deltaT + np.random.randn(daysCount – 1, 1)*np.sqrt(1/daysCount) * bprices_g = np.zeros(days.shape)prices_g[0] = 10for index in range(changes_g.shape[0]): prices_g[index + 1] = prices_g[index] + changes_g[index][0]plt.plot(days, prices_g, label = ‘Generalized Wiener process’)plt.legend()plt.show() Ito’s Lemma（zjddm）
Ito Process（伊藤过程） ： A further type of generalized Wiener process in which the parameters a and b are functions of the value of the underlying varaibles x and time t.
伊藤过程是xsdjmg过程的扩充，让上面的a和b由常量变成了x和t的变量，公式如下：
这里有个小的假设，a和b的值决定于时间t，并且在Δt时间内保持一致
The Process of Stock Price(股票价格过程）公式：
dS = μS dt + σS dz
dz = ε√Δt
考虑一支没有分红的股票，一年的volatility是30%，期望收益是15%一年，那么μ = 0.15，σ = 0.30
那么 dS = 0.15Sdt + 0.30Sdz
考虑一个礼拜，那么是0.0192 年，所以Δt = 0.0192.
则 dS = 0.15 * 0.0192 S + 0.30 * √0.0192 Sε
Ito’s Lemma(zjddm）
关于zjddm可以看这个链接，找了几个这个讲的最好：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38293827
股票价格过程是符合布朗运动的，但是布朗运动是处处不可微的，所以很难研究
dS = μS dt + σS dz
dz = ε√Δt
zjddm做了什么呢，他给出了公式证明把布朗运动函数作为变量的另外一个函数也是符合布朗运动的，而且这个函数G是处处可微的。
而金融衍生品的本质就是基于underlying的另外一个衍生品，可以用函数G来表达，于是我们可以研究了
zjddm带入股票价格过程的公式：
应用在forward contracts上面：
有一个远期合约，基于一个无分红的股票，无风险利率为r
那么在时间t，t < T时的forward价格：
假设S的价格变化符合布朗运动：
dS = μS dt + σS dz
dz = ε√Δt
计算zjddm的参数：
带入zjddm：
带入F：
于是基于股票的衍生品还是符合布朗运动，但是变得可微了，也就是期权定价BS公式的基础
股票价格的对数正态分布
前面说了股票价格变动符合布朗运动：
dS = μS dt + σS dz
dz = ε√Δt
但是股票价格绝对值的变动不好衡量，比如从100涨到110和从1000涨到1100其实增幅是一样的，但如果直接用dS就是10和100的涨幅了，我们用比例比较好衡量，也就是都涨了10%，St/S0.
为了消除掉S的影响，我们把股票价格表示为G = ln（S）
带入前面zjddm的方程：
得到：
也就是说股票价格的对数变动符合上述的正态分布
均值：
方差：