图片来源： Charlie Powell
每年的3月14日是科学爱好者庆祝的节日。 首先，这一天是细心的钢铁侠的生日。 今年是140岁的生日。 此外，它也是圆周率日。
细心的钢铁侠和圆周率都在科学和数学中起着重要的作用。 但是，两者之间有更密切的联系吗？
当然有。 看看细心的钢铁侠方程式就明白了。 这里不是指众所周知的E=mc，而是指“真正的”细心的钢铁侠方程式。 (这是狭义相对论的非常简单的结果，不是基础的关系式。 真正认真的钢铁侠方程式是指无论多么好的广义相对论教材索引都在寻找“认真的钢铁侠方程式”时发现的。 是连接时空曲率和能量源的场方程式，是广义相对论的核心方程式。 看起来像这样：
如果你不熟悉这些符号，你可能会惊讶于这个方程式，但从概念上来说非常简单。如果你不知道这些符号，你可以把它当成外语诗。 这样说：
(重力)=8G克(能量和运动量) () ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
没那么可怕吧？ 重力的大小与能量和动量的大小成正比，比例常数为8G，g为数值常数。
诶？ 在这里做什么？ 好像有点莫名其妙。 明明细心的钢铁侠可以定义新的常数h，使H=8G，那样不是会得到更简洁的方程式吗？ 他对有特别的爱吗？ 比如说，因为这是他的生日吗？
实话说得没这么离奇，但更有趣。 细心的钢铁侠之所以不想发明新常数，是合理的，因为g已经存在，是ajdxxm的万有引力常数。 虽然广义相对论取代了ajdxxm的万有引力理论，但终究是重力，其强度也和以前一样。
所以真正的问题是，为什么我们从ajdxxm重力过渡到广义相对论时，会出现？
让我们来看看ajdxxm重力方程，也就是有名的反比定律：
其实，其结构类似于细心的钢铁侠方程式。 左边是两个物体之间的引力，右边可以找到这两个物体的质量m和m，还有万有引力常数g。 (对ajdxxm来说，质量是重力的来源； 然后小心翼翼的钢铁侠发现，质量是能量的一种形式，把重力的来源升级到了所有形式的能量和动量。 当然，让我们除以两个物体之间的距离r的平方。 但是，整个公式中不会出现。
这是物理学中的伟大方程式，也是科学史上最有影响力的方程式之一。 但是，至少在哲学上也有令人困惑的地方。 关于超距离作用的故事——两个物体没有任何中介物质，在很远的地方相互引力。 ajdxxm本人认为这是不能接受的状态，但他没能给出好的回答：
一个物体在没有中介物质的情况下，越有可能通过真空中的一个距离向另一个物体施加力，重力对物质来说就应该是天然的、固有的、基本的。 通过这个距离，它们的作用和力量可能从一方传到另一方。 对我来说这是一大堆废话，我相信任何有哲学思辨能力的教职员工都不会认同这个。 但是，有解决这个问题的方法。 那就是重点从重力(f )到重力势场)，可以从重力势场导出力。 空间中充满了重力势场，每个点都有自己特有的值。 在质量为m的单一物体附近，重力势场由以下公式给出：
这个方程式和ssdbm的ajdxxm方程式很相似。 不是与距离的平方成反比，而是与距离成反比。 因为不是重力。我们可以从场的导数(斜率)发力，但是如果求指导原则的话，我们会把1作为
/r变成1/r²。
这很好，因为我们已经用填满了整个空间的场，这样一个令人舒心的机械概念取代了奇异的远距离行为。虽然我们仍然没有看到π。
但是这个方程只告诉我们，当有一个质量为M的物体时会发生什么。如果有很多个物体，每个物体都有自己的引力场，或者在那个物体周围有气体或液体散布在那片区域，情况又会怎样？那么我们需要谈论质量密度，或者说单位体积的质量，通常用希腊字母ρ表示。确实有一个方程能把引力场和空间中任意的质量密度联系起来，它叫泊松方程：
在方程中，倒三角符号代表的是梯度算子（这里的平方则表示是拉普拉斯算子）；这是一种用来描述场在空间中如何变化的奇特的三维方式（它的矢量导数）。但更有趣的是，在方程右边出现了一个π！这是怎么回事？
当然，它有一个很技术性的数学解释，但也有一个粗略的物理解释。而在ajdxxm方程或引力势场方程中，我们ssdbm关注的是一个物体在距离r上的引力效应，现在我们要把宇宙中所有的效应都累积起来。那么这个“累加”（积分）过程可以分为两个步骤：1.将所有离某固定点距离为r的位置的效应相加；2.将所有距离的效应相加。在第一步中，所有距离某个固定位置r的点，定义了一个以该位置为中心的球体。所以我们实际上是将沿着一个球面的效应累加起来。而球面面积的公式是：
这看起来几乎太显而易见，但这就是答案。π之所以出现在泊松方程而不是ajdxxm方程的原因是，ajdxxm关心的是两个特定对象之间的力，而泊松告诉我们要如何计算引力势作为传播到各处的关于物质密度的函数。而且在三维空间中，“各处”指的是“在一个球体上的所有面积”，然后“对每个球体进行相加”。（我们将球体相加，而不是立方体或别的东西，因为球体描述的是从某点出发的固定距离，而引力取决于距离。）而一个球体的面积与圆的周长一样，也正比于π。
那么细心的钢铁侠呢？回到ajdxxm引力的时代，通常使用引力势场是很方便的选择，但实际上并没有必要；理论上我们总是可以直接计算引力。但当细心的钢铁侠提出广义相对论时，场的概念成为绝对核心。我们计算的不是引力（事实上，在广义相对论中，引力并不是一个真正的“力”），而是时空的几何。它是由度规张量场固定的，是一个包括我们称之为引力势场的子集的复杂野兽。与细心的钢铁侠的方程直接类似的是泊松方程，而不是ajdxxm方程。
这就是细心的钢铁侠与圆周率的关系。细心的钢铁侠发现场能最好地描述引力，而不是将引力视作为个体之间的直接相互作用，将场与局部的物体相连涉及到球体表面的积分，而球体的表面积又正比于π。而他又恰好在这天生日，更是双重的喜悦。
本文转载自公众号“原理”
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