《每天一点统计学——随机变量与概率分布》中已经初步了解了二项式分布的基本概念和性质：

实验中只有两种可能的结果：“成功”和“失败”，它们是随机决定的，相互排斥。

在每个实验中，成功的概率是P，失败的概率是1-P，成功和失败的概率是常数或接近常数。

每个测试都是相互独立的，每个测试的结果不受其他测试结果的影响。

这里以一个高考选择题数学单选题为例，完成二项式分布公式的推导，希望能告诉大家在生活中如何使用二项式分布。

数学几乎被遗忘了，在这里我们不试图得到正确的答案，但我们可以知道几个事实：

每道选择题只有一个正确答案，其他三个都是错误答案，每道题的结果只有正确和错误。

每道题对的概率为0.25，错的概率为0.75，它们的概率之和只有1；

每个问题相互独立，互不影响。

这是一个二项式分布的现实问题。首先，用概率树画出做题结果的分布：

概率树

通过《每天一点统计学——排列与组合》中所学的知识，我们可以很容易地得到以下结果：

其中X代表问题总数，r代表正确问题数，P(X=r)代表在问题总数X中做对r题的概率。

在三道选择题中做对R题，其实是一道组合题。你从P(X=r)中找到什么规律了吗？

3题做对R题的概率计算公式

二项分布公式

假设每道题的正确概率为P，每道题的错误概率为1-p，即q，正确回答n道题中r道题的概率为：

二项式分布公式

查看组合的计算公式：

结合

00-1010顺便提一下下面的二项式分布期望和方差计算公式。方差可以代表数据的可变性，期望值可以指导决策：