1.引言
干涉测量中的误差包含随机误差与系统误差。通过多次测量取平均值可以减少随机误差，但是系统误差无法平均。衍射效应引起的误差，如几何误差，是系统性的，不能通过取平均的方式来减少。如果未校准，他们将留在测量中。衍射效应包括相位平滑和边缘衍射。相位平滑意味着高空间频率分量的衰减，边缘衍射是指测试表面边缘附近的衍射“纹波”[1]。
使用Talbot成像理论可以研究衍射引起的误差。 Talbot成像是任何具有周期性结构的波阵面都会出现的衍射现象。如果周期为p的相位纹波被准直光照射，那么相同的相位纹波通过以整数倍的自由空间衍射形成
Talbot距离zT = 2 p2。随着正弦相位模式的传播，它将循环通过反相对的幅度模式，共轭相位模式，纯振幅模式，然后返回到原始相位模式。本文讨论了使用第2节中的Talbot效应和第3节中的边缘衍射进行的相位平滑。
Talbot效应将相位对象分解为正弦波纹。相位对象也可以使用Zernike分解来描述，这在光学测试中很常见。在第4节中，使用Zernike多项式的数值模拟研究了衍射引起的误差。
如果一个具有W（W1）波的小相位波纹的物体被准直光束照射，则在传播L个距离之后，相位波纹的幅度遵循余弦函数[2]
|
æ |
|
L |
ö |
æ |
|
Ll |
ö |
|
W '= W cosç |
2p |
÷ |
= W cosç |
2p |
÷ . |
||
|
zT |
2 |
||||||
|
è |
|
ø |
è |
|
p |
ø |
相位纹波的衰减取决于物体的传播距离和空间频率。更小的p（高空间频率）导致幅度更大的衰减，我们称这种现象为相位平滑。
对准直照明评估Talbot距离zT。对于球形照明，周期性物体的复制将被放大，而不会在Talbot距离的整数倍处出现。将球形照明转换成等效准直照明是很方便的，然后使用公式（1）计算一定空间频率的相位平滑。除了在有效传播距离Le处出现衍射图案之外，用于球形束的衍射图案与用于准直束观察到的相同，并且它是
在横向尺寸缩放。
对于以曲率半径R1，直径2a1和具有周期p1的波纹开始的会聚波前，传播到具有曲率半径R2的位置。有效传播距离是
|
L = |
R1 (R1 – R2 ) |
, |
(2) |
e R2
其中R1和R2应该有标志信息。为了避免缩放问题，纹波周期可以通过2a1归一化，因此当波前传播时归一化的频率归一化= 2a1 p1 [cycles / diameter]保持不变。 通过用L代替L和p并进行归一化，方程 （1）变成
|
æ |
p f 2 |
ö |
|
|
|
W '= W cosç |
normalized |
÷ , |
(3) |
|
|
|
|
|||
|
ç |
4N f |
÷ |
|
|
|
è |
ø |
|
|
其中N f = a12Le是菲涅耳数[3]。
在干涉测量中，可以从三个方面讨论相位平滑：来自测试波阵面的衍射效应，参考波阵面和公共波阵面。
测试波阵面的衍射效应：测试波阵面中的误差是由零光学器件（如果存在的话）和测试表面引起的。一个简单的例子是仅考虑来自测试表面本身的错误。干涉仪通常将测试表面聚焦在检测器上，以避免测试波阵面的衍射效应，并正确测量被测表面。
来自参考波阵面的衍射效应：参考波阵面的误差是由参考臂中光学器件的缺陷引起的。一个简单的例子是假定参考表面图是参考波阵面中唯一的误差来源。除非干涉仪被校准，否则参考波阵面中的任何误差都会作为误差出现在测试表面上。由于参考表面通常没有焦点，所以参考波前也受到衍射效应的影响。然而，参考波阵面的误差，包括衍射效应，可以通过绝对测试进行校准。
普通波前的衍射效应：普通波前是指干涉仪中照明光学元件的波前。参考光束和测试光束在它们相互分离之前携带相同的共同波前信息。图1显示了测试平面镜的斐索干涉仪。共同的波阵面保持向前传播距离L到测试光学器件，使得测试臂和参考臂之间的总的往返传播距离差为2L。由于衍射效应随传播距离而变化，所以两个光束之间的传播距离将因此向最终的波前图导入误差。
图1使用斐索干涉仪测试平面镜，距传输平面L距离。
有多种校准参考波前误差的方法，例如三平面测试，三位测试等。最好在测试感兴趣的表面之后执行校准，而不改变干涉仪的变焦或聚焦。这是因为当使用干涉仪测试光学元件时，成像焦点或变焦将相应地调整，以使干涉仪对检测器上的测试光学元件成像以正确地测量其误差。
由于干涉仪内部没有光学元件发生变化，参考波前在表面测量和校准测试中都是相同的。因此，可以校准参考波前的衍射效应。对于测试和通用波前，如果校准传播距离不同，校准将会产生残留误差。误差将取决于空间频率和有效传播距离。
3.衍射效应：边缘衍射
当干涉仪的光圈没有对焦时，可以看到边缘衍射。干涉仪内部有许多不能聚焦的孔径，因为干涉仪通常在检测器上对待测表面进行成像以正确表示测试表面中的误差。然而，来自限制孔径的边缘衍射通常在测量中具有最主要的影响。干涉仪本身的限制孔径是透射球体或平面，通常不会被聚焦。来自透射光学器件的孔径的边缘衍射图案可以被计算为从孔径向测试光学器件（焦平面）传播的球面波阵面。透射光学器件的边缘衍射的严重程度取决于菲涅耳数，菲涅耳数表示从透射光学元件到测试光学元件的传播几何形状。菲涅尔数越大，衍射环图案越密集，并且观察到边缘衍射效应越小。图2表明，由于边缘衍射，具有较小菲涅耳数的系统具有较大的RMS相位误差。
|
Intensity |
Phase |
Phase profile |
|
|
Fresnel number: 5387 |
RMS: 3.6 nm |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
-400 |
500 |
1000 |
|
Fresnel number: 62 |
RMS: 10.7 nm |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-500 |
500 |
1000 |
|
|
|
Position in pixel |
|
图2在不同的菲涅尔数下由边缘衍射引起的强度模式（左），相应的相位模式（中）以及沿着直径（右）的线横截面。波长是632.8纳米。
4. Zernike传播
与正弦波纹不同，Zernike多项式不具有单个空间频率。 因此，很难用Talbot效应来估计Zernike多项式的相位平滑。 我们模拟了Zernike多项式由于在MATLAB准直光束中的波传播而导致的行为。
该模拟包括衍射效应：相位平滑和边缘衍射。 如图3所示，如果Zernike多项式Zi的原始输入具有幅度in，则输出Zernike项将具有幅度
在传播L距离后out，这是平滑效果。因为每个Zernike多项式有更多
除了一个空间频率和每个频率分量具有不同的平滑效应外，还将存在原始Zernike项无法拟合的残余误差。图4显示了菲涅尔数为50的标准Zernike项39的模拟结果。
图3当Zernike项传播距离L时，会出现平滑效应，边缘衍射和一些残留误差。
图4计算机模拟标准Zernike项39的波前传播，菲涅尔数为50.第一列是输入Zernike函数，误差为0.1λrms。 第二列是在准直空间中传播L距离之后的输出波阵面。
第三栏显示消除边缘衍射效应后的输出波前。 第四列是输入Zernike多项式与输出波前的拟合。第五列显示了第三列和第四列之间的差异.
5.结论
干涉测量由于衍射而受到误差的影响。 衍射效应包括中/高空间频率的相位平滑和边缘衍射。如果表面测量和校准测试中参考，测试和公共波前的传播距离相同，则可以校准衍射效应产生的误差。 当干涉仪的限制孔径未对焦时，通常会观察到边缘衍射。 边缘衍射也会影响干涉测量的准确性。