偏微分方程是将一个有多个变量的函数与其偏导数联系起来的方程。为了引入偏微分方程，我们必须解决一个简单的问题：模拟薄金属棒中的温度作为位置和时间的函数。在这个过程中，我们将从物理原理推导出一维热方程，并求解一些简单的条件：

在这个方程中，温度t是位置x和时间t的函数，k、和c分别是金属的热导率、密度和比热容，k/c称为扩散系数。

物理过程

我们想研究热量是如何随着时间的增加在长度为L的金属棒中传导的。金属棒的一端在x=0，另一端在x=l，金属棒的长度远大于它的截面半径，所以我们可以把热传导看成X和T的函数，假设金属棒的比热容已知，如果能求出温度T(x，T)的函数，就可以知道热量是如何扩散的。

假设棒沿其长度方向是绝热的，因此它只能通过两端吸收或散发热量。这意味着温度分布仅取决于以下三个因素：

初始温度分布T(x，0)。这被称为初始条件。杆两端的温度T(0，T)和T(1，T)称为边界条件。金属棒从一点到另一点的热传递定律。热方程是这个物理定律的数学表达式。对于一组特定的初边值条件，求解偏微分方程的问题称为初边值问题(IBVP)。

本文我们要求解的热方程的初边值为T(0，t)=T(L，t)=0 C，这些称为齐次边界条件。

热方程的推导

热量方程可由能量守恒导出：金属棒上某一点储存的热量的时间变化率等于流入该点的净热量。这个过程显然符合连续性方程。如果q是每个点的热量，v是热流的矢量场，那么：

根据热力学第二定律，如果两个相同的物体热接触，其中一个比另一个热，那么热量必须以与温差成正比的速度从较热的物体流向较冷的物体。因此，v与温度的负梯度成正比，所以v=-kt，其中k是金属的导热系数。在一维中，它简化为v=(-kt/x) x，其中x是x方向上的单位向量。Q=cT，代入V和Q的表达式，得到热方程：

解热方程

在我们进一步讨论之前，我们需要证明对于任何物理初始和边界条件，热方程都必须有唯一解。这方面的形式证明超出了本文的范围，因此我们将使用一个实证。

热力学定律告诉我们，无论一开始金属棒的温度分布是怎样的，系统都必须经过一个过程，才能使金属棒达到热平衡。正如我们之前所说，这个过程必须服从热方程。因此，对于具有物理意义的初始条件和边界条件，热方程的解是存在的。此外，经典物理的一个基本假设是，相同的实验条件必然导致相同的结果。因此，金属棒进入热平衡的具体方式只由初始条件和边界条件来规定。

这意味着对于热方程，如果f(x，t)和g(x，t)是两个不同的函数，并且满足相同的IBVP，那么f和g具有相同的形式。另外，热方程是线性的，所以如果f和g是解，和是任意实数，那么f g也是解。所以我们可以得出结论，解是相同形式的函数的线性组合。

考虑到下面的函数，我们可以通过试错来猜测：

其中n是大于0的正整数。该函数满足热方程：

这个函数也满足边界条件，因为sin(0)=sin(n)=0。因此，一般的解决方案是：

如果能找到系数A_n，使这个通解满足初始条件，问题就迎刃而解了。也就是说，我们需要找到一个

样：

这叫做初始条件下的傅里叶正弦级数展开式。系数A_n叫做傅里叶系数。

计算傅里叶系数

初始条件T（x，0）是区间[0，L]上的分段连续函数，且在边界处为零。结果证明具有这些性质的函数集合是加法和标量乘法下的向量空间。我们称这个向量空间为：

这个向量空间有一个内积。对于f，g∈ᴸ（加法和标量乘法下的向量空间），一个可能的内积为：

我们可以通过使用单位向量的点积将其投影到轴上来找到几何向量的分量，单位向量构成了ℝⁿ的基。同样，如果我们能为ᴸ找到一个基，那么我们可以将任何f∈ᴸ投影到基函数上，以便将f表示为基函数的线性组合。

求v的分量

对于整数m，n>0，函数sin（nπx/L）是标准正交的：

因此，我们可以将任意函数f∈ᴸ表示为基集中函数的线性组合：

线性组合的系数由欧拉积分给出：

作为演示，让我们找到一个单位锯齿脉冲的傅立叶系数：

显然，saw(x)∈¹，因此：

傅里叶系数为：

因此，锯齿波的傅里叶级数展开为：

下面的动画展示了，随着sin项的增加，傅里叶级数如何接近锯齿状（波形）的。

x=1附近的误差称为吉布斯现象。吉布斯现象是一种不可避免的误差，它使不连续函数的傅里叶级数将不连续时的函数值高估约9%。吉布斯现象永远不能完全消除，但当傅里叶级数中的项数接近无穷时，误差收敛到完全局限于不连续点。例如，如果在锯齿形的傅里叶级数展开式中包含无限项，我们会发现当 0≤x<1 时，级数将完全等于x，而在x=1时，级数的值约为1.09。

这告诉我们，求解热方程的齐次IBVP等于使用欧拉积分来求傅里叶系数：