在Convex Optimization的第三章中提到了共轭函数的仿射变化。但是没有具体说明过程，这里推导一下。
参考资料：
Convex Optimization: Chapter-3
函数的共轭函数定义为
现给出其仿射变化函数，其共轭函数为，证明如下：
当时，仿射函数与函数的距离最大，即梯度相同时，距离最远。
因此对于函数来说，其共轭函数为
其中。
对于函数来说，其共轭函数为
其中
变量替换就可得到。
函数，其共轭函数为，其中，。证明如下：
这里用到了矩阵求导，参考资料：矩阵求导，矩阵求导、几种重要的矩阵及常用的矩阵求导公式
首先对函数与上面的证明一致，不再赘述。
对于函数，当时，仿射函数与函数的距离最大。
因此其共轭函数为
令，则，。而共轭函数为
其中，，则，而。将进行替换就可以得到了。
这里给个提示：
，注意与矩阵的逆区别。所有的推导按照矩阵求导的分母布局进行的。