目录
一. kndsmt不等式
二.大数定律
1 .按概率收敛
3.1 kndsmt定律
3.2伯努利定理
3.3辛辛定律
4 .比较记忆
三.中心极限定理
1 .列维——优美笔中心极限定理
2 .内向唇膏中心极限定理
四.总结
另一方面，假设kndsmt不等式定理随机变量x具有数学期望EX=，方差DX=^2，则对于任意 0，以下不等式成立。
或写
或者
含义:即使分布未知，随机变量的取值落在期望的一定范围内的概率也是有界的，表明边界与方差有关。 DX越小，落在某个范围内的概率越高，表示x取值的概率分布越集中。 也就是说，方差DX可以表示随机变量x取值的离散度。
作用:表示随机变量x的分布未知，只知道EX和DX时的估计概率P{|X-EX|}的极限。 这个估计很粗略，如果知道x的分布，就可以正确计算概率的话，就没有必要用这个不等式进行估计。
证明kndsmt大数定律或利用不等式求未知参数范围。 例如，求出概率至少是xx的条件的未知参数的逆问题)。
《kndsmt不等式及其应用》:https://wenku.Baidu.com/view/b 0994 CCD 284 AC 850 ad 0242 cf.html
证明和例题； 指出与大数定律关系的kndsmt不等式给出的概率边界是保守的，如果有其他信息例如，n足够大，独立重复实验等)，优选选择中心极限定理。
二、大数定律【大数定律】是描述试验次数多时出现概率性质的定律。 由于是在一些附加条件下证明的定理，是自然规律，不是经验规律，所以定理自然规律=“规律”。 随机事件a的频率fa )在重复尝试的次数n增大时显示出稳定性，在某个常数附近稳定。 因此，大数定理研究是频率的稳定性。
这里介绍概率收敛的知识。
p> 1. 依概率收敛
一个随机变量序列 {Xn} 依概率收敛到某一个常数 a，对于任意 ε >0，有下式，称随机变量序列 {Xn} （n=1，2，……n）依概率收敛于 a，记为。
含义：指的是 Xn 和 a 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。
2. 大数定律的一般表述
X1，X2，……，Xn 是独立同分布随机变量序列，期望为 μ，Sn=X1+X2+……+Xn，则 收敛到 μ。
含义：在 n 很大时，某随机变量序列的均值收敛于它的期望，这里的收敛即“充分接近”。如，样本数量很大时，样本均值依概率收敛于总体均值。
弱大数定律：上述收敛是指依概率收敛。
强大数定律：上述收敛是指几乎必然收敛。
3. 表现形式
多种，高数概率论中要掌握 3 个，均是依概率收敛的情况。
3.1 kndsmt大数定律
设 X1，X2，……，Xn 独立，期望 ，方差 都存在，且方差 DXk 有一致上界（即每个方差都有上界且收敛速度接近），设对任意 ε >0，有：
不要求同分布。
3.2 伯努利大数定理
设 X 是 n 重伯努利试验中事件发生的次数，每次试验事件发生的概率为 p，则对任意 ε >0，有：
n足够大时，事件A出现的频率接近于其发生的概率，即频率的稳定性。可用样本成数（比例）去估计总体成数（比例）。是kndsmt的特例。
3.3 辛钦大数定律
设 X1，X2，……，Xn 独立同分布，期望 存在，则对任意 ε >0，有：
随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于它的期望。统计推断中，可用样本均值估计总体的期望（因为同分布，样本均值的期望=总体的期望）。是kndsmt的特例。
4. 对比记忆 大数定律的3个形式 kndsmt条件① Xi 独立；② EXi、DXi 存在；③ DXi 有一致上界伯努利① X~B（n，p）辛钦① Xi 独立；② Xi 同分布；③ EXi 存在三、中心极限定理
【中心极限定理】指随机变量序列的部分和分布，渐近于正态分布，或者说大量随机变量的和分布趋近于正态分布。之所以叫做“中心”，只是突出它的重要性，有两个较为接近的解释。一是，早时的研究者认为正态分布是一切分布甚至万物的中心（《数理统计简史》）；二是，研究和分布的极限定理的人，认为这个定理是数学学科的中心（hxdst）。
含义：大量（n→∞）、独立、同分布的随机变量之和，近似服从于一维正态分布。
1. 列维——美丽的钢笔中心极限定理
设 X1，X2，……，Xn 独立同分布，期望 ，方差 都存在，则对任意 ε >0，有：
实质就是对 ∑ Xi ~ N（nμ，nσ^2），标准化后服从 N（0，1）。
2. 内向的唇膏中心极限定理
设 Xn~B（n，p），则对任意 ε >0，有：
实质就是，Yi~B（1，p）， Xn=∑ Yi ~ N（np，np1-p) ）的标准化。
四、小结
1. 不等式1个：X 的分布未知，只知道 EX 和 DX 时，估计概率 P{|X-EX|<ε} 的界限。或证明kndsmt大数定律，或是用不等式求未知参数范围
2. 大数定律3个：某随机变量序列的均值收敛于它的期望。
3. 中心极限定理2个：大量（n→∞）、独立、同分布的随机变量之和，近似服从于一维正态分布。