因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。例如， x^2-3) 没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积，即在有理数域上 x^2-3) 是既约多项式。若将其放在实数域内考虑，因为 x^2-3=x-sqrt{3})x+sqrt{3})), 所以 x^2-3) 不是实数域上的既约多项式。
前面我们的讨论都是在有理数域上进行的。 下面我们看看实数域和复数域上的分解。
求根公式
一次多项式永远是既约的。
关于 x) 的二次三项式 ax^2+bx+c) 在复数域上的因式分解非常简单：根据求根公式 $$x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
我们就得到一个分解 $$ax^2+bx+c=aleftx-frac{-b+ sqrt{b2-4ac}}{2a}ight)leftx-frac{-b-sqrt{b2-4ac}}{2a}ight). qquad 1)$$
在实数域上，若 b^2-4acgeq 0), 1)) 就是一个分解；若 b^2-4ac<0), 那么 ax^2+bx+c) 就是实数域上的一个既约多项式。
如果 b^2-4ac) 不是有理数的平方，那么 ax^2+bx+c) 就是有理数域上既约多项式。如果 b^2-4ac) 是有理数的平方，那么 ax^2+bx+c) 就可以分解。当然，这时候用十字相乘法更方便。
分解因式：2x^2-3x-7).
因为 b^2-4ac=65>0), 65) 不是有理数的平方，所以 2x^2-3x-7) 是有理数域上的既约多项式。但在实数域和复数域上，它是可以分解的：
[2x^2-3x-7=2leftx-frac{3+sqrt{65}}{4}ight)leftx-frac{3-sqrt{65}}{4}ight).
]
分解因式：2x^2-3x+7).
因为 b^2-4ac=-47<0), 所以 2x^2-3x+7) 是实数域上的既约多项式。在复数域上它可分解为
[2x^2-3x+7=2leftx-frac{3+sqrt{47}i}{4}ight)leftx-frac{3-sqrt{47}i}{4}ight).
]
分解因式：2x^2-3x-2).
因为 b^2-4ac=25) 是有理数的平方，所以原式可在有理数域上分解。利用十字相乘也可以得到结果
[2x^2-3x-2=2x+1)x-2).
]
代数基本定理
在复数域上，每个形如 fx)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0) n>0)) 的多项式至少有一个根。
由此可以很自然的得到
n) 次多项式 fx)) 恰好有 n) 个根.
这只是一个理论上的结果，具体操作起来还是很麻烦的。
单位根
根据代数基本定理，方程 x^3-1=0) 有三个根，我们把 dfrac{-1+sqrt{3}i}{2}) 记作 omega). 明显的有 omega^2+omega+1=0).
一个小结论：如果三次单位根 omega) 是 fx)) 的根，那么根据复根配对可知 x^2+x+1) 就是 fx)) 的因式。
分解因式：x^5+x^4+x^2+x+2).
经验证可知 omega) 是原式的一个根，于是原式有因式 x^2+x+1)。因此原式可在有理数域上分解为
[x^5+x^4+x^2+x+2=x^2+x+1)x^3-x+2).
]