第三章：集合与关系

3.1集合的概念与表示法

一、集合的定义、表示法

1.定义：集合是由某些可以互相区分的事物汇聚在一起组成的整体，用A，B，C表示。（注：元素具有确定性和互异性。）

2.有限集合A的元素个数记作 |A| 。

3.集合的表示法（列举法，描述法）。

二、元素与集合关系、集合间关系

4.元素和集合的关系（属于和不属于）

5.集合间的关系包含、真包含、相等)全集、空集)

例：

三、幂集的定义

6.幂集:给定集合A，由A的所有的子集作成的集合，称为A的幂集，记作P（A）。

定理1： 设A是有限集合，且 |A| = n，则 |P（A）| = 2的n次方

3.2 集合的运算

1 交、并、补、绝对补

2 对称差

3 运算律

4 集合相等的证明方法

相对补：如果A和B是集合，则在B中的A的相对补集也称为B和A的集合差，其元素属于 B，但不属于 A。A 在B 中的相对补集通常写作B – A，读作“A在B中的相对补集”。

绝对补：U是集合，A是U子集，由U不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在U的绝对补集。

对称差：A⊕B表示对称差运算，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。（由图示容易理解）

集合的一些等式：

A – B = A ∩ ~B
A – B = A – A∩B)

证明集合等式例题：

思路：利用上面的两个等式将差集运算转化为交集运算，对补运算用德摩根律展开，再根据目标的形式运用 交集/并集 对 并集/交集 的分配律。

3.3 包含排斥原理（容斥原理 ）

两个集合的容斥原理：

|A∪B| = |A| + |B| – |A∩B|

对于三个集合，也有类似的定理：

|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| – |A∩B| – |B∩C| – |A∩C| + |A∩B∩C|

推广到三个以上更多集合时有：
|A1∪A2∪……∪An|

= |A1| + |A2| + ……+ |An| ﹣|A1∩A2| + |A1∩A3| + ……+ |A[n-1]∩An|) +

|A1∩A2∩A3| + |A1∩A2∩A4| + ……+ |A[n-2]∩A[n-1]∩An|) + ……+

[-1)^n-1)]*|A1∩A2∩……∩An| 注：[n-1]，[n-2]为下标；-1)^n-1)表示-1的n-1次方)

下面为两道例题：

注意：要关注题目所求的量的具体含义，（比如：学法语的人数为65，而只学法语的人数为28）

结合文氏图进行求解，使用容斥原理能求出的量往往是为了更好地画出文氏图)

注意：本题中在算B∩C的元素个数时，分母上[6,8]表示的是6和8的最小公倍数，为24，而不是6×8，[5,6,8]也同理)