用平方数总结“123 n”时，如果一个能道)爱颜)的小学生问“nn ^ 1)2n ^ 1)/6”这个公式是从哪里来的，你有什么办法可以给他解释一下吗？
证明方法有很多——高阶邻居减法和累加法、阿贝尔恒等式变换、金字塔立方体法、待定系数法、摄动法.
但作为小学数学老师，老师和很多老师一样，认为“踢三角”是最适合小学生的证明方法。
这种方法简单直观，能使小学生充分体会到“数形结合”的奇妙.
看到这里，你可能已经预测到老师会画一个三角形，开始讲“踢一脚”和“踢另一脚”的“踢三角法”——
不要。
你不用踢脚，最好叠起来。
3354确认了眼神，这是干货~
以下是老师的原创内容：将“踢三角”转化为“RGB重叠三角”！
“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版.
既然我们愿意给孩子讲“高斯小时候熟练地从1数到100”的故事，我们就应该“做个好人到底”。
“RGB重叠三角形”的正确学习方法应该分为以下三个阶段——
高斯求和 平方数之和 自然数乘以算术数之和。
1 2 3 4) 4 3 2 1)=1 4) 2 3) 3 2) 4 1)
以上是高斯求和：在原公式的基础上再增加一个副本，然后逆序添加，就会看到“项目相等”的奇妙现象！
平方和“1234”可视为“11 22 33 44”，即——。
1223334444
如果我们仍然模仿高斯求和，复制原来的公式，以相反的顺序添加——。
14444223333332244441
o o)….呃~
以上几行不相等.失败。
这是因为平方数之和的第n项“n”随着数n以平坦的方式增加，变得“更轻更重”。
由于以相反的顺序添加一个副本不再有效，那么将——加倍并复制两个副本，然后添加——
1223334444
00-1010红色半透明塑料板命名为R，绿色半透明塑料板命名为G，蓝色半透明塑料板命名为B，R、G、B上三角表的“1”分别在三个不同方向上下重叠3354
高斯求和——会出现“等项”现象。
R、G、B重叠后，三角表每个位置有三个数字，每个位置三个数字之和等于“1 4 4”。
上面有“1 2 3 4”的“等和”，所以——
R G B=1 4 4)1 2 3 4)
因为r=g=b=1 2 3 4，所以——
1 2 3 4=1 4 4)1 2 3 4)/3=1 42)[1 4)4/2]/3=1 42)44 1)/6
如果将上述公式中的“4”扩展为“n”，则有——。
1 2 3 n=1 2n)n
n+1)/6=nn+1)2n+1)/6
以上是平方数求和公式的“RGB叠三角”证明法.
还没完，接下来我们继续介绍——
“自然数乘等差数”的求和方法.
（自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.）
设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，则有——
仍然会出现高斯求和中“项项相等”的现象——
R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.
以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——
R+G+B=1+7+7)×1+2+3+4)
又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——
1×1+2×3+3×5+4×7=1+7+7)×1+2+3+4)/3=1+7×2)×[1+4)×4/2]/3=1+7×2)×4×4+1)/6
如果把上式中的“4”推广到“n”，另设“An”为等差数列第n项，设“A1”为等差数列首项，则有——
1×1+2×3+3×5+···+n×An=A1+2An)nn+1)/6=nn+1)2An+A1)/6
以上就是“自然数乘等差数”的求和公式，特别地，当An=n时，以上公式退化为——
nn+1)2n+1)/6
没错，平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况.
最后⑨老师想说的是，数学证明往往是给看似不相关的两样东西画上等号——这是非常需要灵感的.
灵感通常被描述为一瞬间打开了纵观全局的上帝视角.
这种视角，往往是把概念、数据、符号、算式图形化、结构化、等量转化——
这也是为什么⑨老师推荐大家多多去体会“数形结合”，比如金字塔数求和——
1+2+3+4+3+2+1=？
一个4×4的点阵，从正常角度来看它就是4行4列即“4+4+4+4”，而按照斜线来求和却是“1+2+3+4+3+2+1”，于是我们把“同一数量的两种不同表达用等号连接”：
1+2+3+4+3+2+1=4×4
要知道，数学最重要的就是各种等式，而神奇公式等号连接的两侧，几乎都是我们认为风马牛不相及的东西——
e^πi)=-1