因为日常计算中经常需要做一些近似，而泰勒级数展开是其中最常用的一种，所以本篇整理了部分常见的（一元函数）泰勒公式展开

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一、泰勒中值定理

对于简单的多项式函数，我们往往是很喜欢的，但是我们要接触的往往是一些比较复杂的函数，所以一种自然而然的想法也就出来了，那就是利用多项式来近似逼近这些复杂的函数，这就不得不提我们非常熟悉的泰勒展开了，在具体列出常见的泰勒展开之前，我觉得还是有必要提一嘴泰勒中值定理的（好吧，其实是为了凑字数），下面就介绍一下泰勒中值定理。

• 泰勒（Taylor）中值定理（一元函数）

如果函数$fx)$在含有 x 0 x_0 x0​的某个开区间$a,b)$内具有知道$n+1)$阶的导数，则对任一$x\in a,b)$，有
f x ) = f x 0 ) + f ′ x 0 ) x − x 0 ) + f ′ ′ x 0 ) 2 ! x − x 0 ) 2 + ⋯ + f n ) x 0 ) n ! x − x 0 ) n + R n x ) fx)=fx_0)+f’x_0)x-x_0)+\frac{f”x_0)}{2!}x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{n)}x_0)}{n!}x-x_0)^n+R_nx) fx)=fx0​)+f′x0​)x−x0​)+2!f′′x0​)​x−x0​)2+⋯+n!fn)x0​)​x−x0​)n+Rn​x)其中
R n x ) = f n + 1 ) ξ ) n + 1 ) ! x − x 0 ) n + 1 R_nx)=\frac{f^{n+1)}\xi)}{n+1)!}x-x_0)^{n+1} Rn​x)=n+1)!fn+1)ξ)​x−x0​)n+1这里的$\xi$是 x 0 x_0 x0​与$x$之间的某个值。
这个定理则告诉我们，如果已知某个函数在某一点的$n+1$阶导数，那么我们原则上是可以将这个函数在这个点附近用一个多项式进行逼近的，但是上面的这个定理其实是基于一元函数的，为了方便以后的扩展，下面在简单介绍一下多元函数的泰勒中值定理。

• 多元函数的泰勒中值定理

设 f = f x 1 , x 2 , ⋯   , x k ) f=fx^1,x^2,\cdots,x^k) f=fx1,x2,⋯,xk)在点 x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) x^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) x01​,x02​,⋯,x0k​)的某一领域内连续且有直到$n+1$阶的连续偏导数, x 0 1 + h 1 , x 0 2 + h 2 , ⋯   , x 0 k + h k ) \\x^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k) x01​+h1​,x02​+h2​,⋯,x0k​+hk​)为此邻域内的任一点，则有
f x 0 1 + h 1 , x 0 2 + h 2 , ⋯   , x 0 k + h k ) = f x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) fx^1_0+h_1,x^2_0+h_2,\cdots,x^k_0+h_k) = fx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) fx01​+h1​,x02​+h2​,⋯,x0k​+hk​)=fx01​,x02​,⋯,x0k​)

+ ∑ i = 1 , 2 , ⋯   , k ∂ f x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i h i + 1 2 ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ∂ 2 f x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 h i 1 h i 2 + +\sum_{i=1,2,\cdots,k}\frac{\partial{fx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}}{\partial{x^i}}h_i+\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{ i_2=1}^{k}\frac{\partial^2fx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}}h_{i_1}h_{i_2}+ +i=1,2,⋯,k∑​∂xi∂fx01​,x02​,⋯,x0k​)​hi​+2!1​i1​=1∑k​i2​=1∑k​∂xi1​∂xi2​∂2fx01​,x02​,⋯,x0k​)​hi1​​hi2​​+

⋯ + 1 n ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ⋯ ∑ i n = 1 k ∂ n f x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 ⋯ ∂ x i n ∏ j = i 1 i n h j + R n x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) \cdots+\frac{1}{n!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_n=1}^{k}\frac{\partial^nfx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_n}h_j+R_nx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0) ⋯+n!1​i1​=1∑k​i2​=1∑k​⋯in​=1∑k​∂xi1​∂xi2​⋯∂xin​∂nfx01​,x02​,⋯,x0k​)​j=i1​∏in​​hj​+Rn​x01​,x02​,⋯,x0k​)

其中
R n x 0 1 , x 0 2 , ⋯   , x 0 k ) = 1 n + 1 ) ! ∑ i 1 = 1 k ∑ i 2 = 1 k ⋯ ∑ i n + 1 = 1 k ∂ n f x 0 1 + θ h 1 , x 0 2 + θ h 2 , ⋯   , x 0 k + θ h k ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 ⋯ ∂ x i n ∏ j = i 1 i n + 1 h j , 0 < θ < 1 ) R_nx^1_0,x^2_0,\cdots,x^k_0)=\frac{1}{n+1)!}\sum_{i_1=1}^{k}\sum_{i_2=1}^{k}\cdots\sum_{i_{n+1}=1}^{k}\frac{\partial^nfx^1_0+\theta h_1,x^2_0+\theta h_2,\cdots,x^k_0+\theta h_k)}{\partial{x^{i_1}}\partial{x^{i_2}}\cdots\partial{x^{i_n}}}\prod_{j={i_1}}^{i_{n+1}}h_j ,0<\theta<1) Rn​x01​,x02​,⋯,x0k​)=n+1)!1​i1​=1∑k​i2​=1∑k​⋯in+1​=1∑k​∂xi1​∂xi2​⋯∂xin​∂nfx01​+θh1​,x02​+θh2​,⋯,x0k​+θhk​)​j=i1​∏in+1​​hj​,0<θ<1)

二、常用的泰勒级数展开

基于上面的泰勒中值定理，可以导出一些常见函数的泰勒展开公式（具体推导不做展开，具体可参见同济版高数上册），然后由泰勒展开公式结合无穷级数可以得到下面的幂级数展开式：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,-\infty<x<+\infty ex=n=0∑∞​n!xn​=1+x+2!x2​+⋯+n!xn​+⋯,−∞<x<+∞

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − ⋯ + − 1 ) n x n + ⋯   , − 1 < x < 1 \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty-1)^nx^n=1-x+x^2-\cdots+-1)^nx^n+\cdots,-1<x<1 1+x1​=n=0∑∞​−1)nxn=1−x+x2−⋯+−1)nxn+⋯,−1<x<1

l n 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ − 1 ) n − 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + − 1 ) n − 1 x n n + ⋯   , − 1 < x ⩽ 1 ln1+x)=\sum_{n=1}^\infty-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,-1<x\leqslant1 ln1+x)=n=1∑∞​−1)n−1nxn​=x−2x2​+3x3​−4x4​+⋯+−1)n−1nxn​+⋯,−1<x⩽1

s i n x = ∑ n = 0 ∞ − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + x 2 n + 1 2 n + 1 ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ sinx=\sum_{n=0}^\infty-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty sinx=n=0∑∞​−1)n2n+1)!x2n+1​=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯+2n+1)!x2n+1​+⋯,−∞<x<+∞

c o s x = ∑ n = 0 ∞ − 1 ) n x 2 n 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + − 1 ) n x 2 n 2 n ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ cosx=\sum_{n=0}^\infty-1)^n\frac{x^{2n}}{2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+-1)^n\frac{x^{2n}}{2n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty cosx=n=0∑∞​−1)n2n)!x2n​=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+⋯+−1)n2n)!x2n​+⋯,−∞<x<+∞

1 + x ) α = 1 + α x + α α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α α − 1 ) ⋯ α − n + 1 ) n ! x n + ⋯   , { x ∈ − 1 , 1 ) , α ⩽ − 1 x ∈ − 1 , 1 ] , − 1 < α < 0 x ∈ [ − 1 , 1 ] , α > 0 1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha \alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha \alpha-1)\cdots \alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots,\begin{cases}x\in-1,1),\alpha\leqslant-1 \\ x\in-1,1],-1<\alpha<0 \\ x\in[-1,1],\alpha>0\end{cases} 1+x)α=1+αx+2!αα−1)​x2+⋯+n!αα−1)⋯α−n+1)​xn+⋯,⎩⎪⎨⎪⎧​x∈−1,1),α⩽−1x∈−1,1],−1<α<0x∈[−1,1],α>0​

同济版高数