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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。
函数切线
关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。
比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线y=fx))，我们想要求出这个曲线在某个点M)的切线，那么应该怎么操作呢？
如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，angle NMT)在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。
在图中，MN的斜率表示为 anphi)，其中 anphi=frac{fx)-fx_0)}{x – x_0}).
当N逼近于M时：
[displaystyle anphi= lim_{x o x_0}frac{fx) – fx_0)}{x – x_0}
]
我们令Delta x = x – x_0)，所以：
[displaystyle anphi=lim_{Delta x o 0}frac{fx_0 + Delta x) – fx_0)}{Delta x}
]
此时 anphi)的结果就是函数在x_0)处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。
定义
假设函数y=fx))在点x_0)处的邻域内有定义，当自变量x)在x_0)处取得增量Delta x)x_0 + Delta x)仍然在x_0)的邻域内)，相应的函数取得增量Delta y=fx_0+Delta x) – fx_0))。如果frac{Delta y}{Delta x})在Delta x o 0)时的极限存在，称为函数y=fx))在点x_0)处可导。它的导数写成f’x_0))
[displaystyle f’x_0)=lim_{Delta x o 0}frac{fx_0+Delta x) – fx_0)}{Delta x}
]
f’x_0))也可以记成displaystylefrac{dy}{dx})，或者displaystylefrac{dfx)}{dx})。
如果函数y=fx))在开区间I)内可导，说明对于任意x in I)，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数fx))的导函数，记作f’x))。
不可导的情况
介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。
导数的本质是极限，根据极限的定义，如果displaystylelim_{x o x_0}fx)=a)。那么，对于某个正数epsilon)，对于任何正数delta)，都有0 < |x – x_0| < delta)时，|fx) – a| geq epsilon)。那么就称为x o x_0)时，fx))的极限是a。
我们对上面的式子进行变形，可以得到，当Delta x o 0)时:
[displaystylelim_{Delta x o 0}fx_0-Delta x)=fx_0 + Delta x) = a
]
也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近x_0)还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数fx))在x_0)点可导的充分必要条件就是，函数在x_0)处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。
另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。
根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是frac{Delta y}{Delta x})在Delta x o 0)时存在。即：
[displaystylelim_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=f’x)
]
我们把极限符号去掉：
[frac{Delta y}{Delta x}=f’x) + a
]
这里的a是Delta o 0)时的无穷小，我们队上式两边同时乘上Delta x)，可以得到：
[Delta y=f’x)Delta x + aDelta x
]
由于a和Delta x)都是无穷小，并且f’x))存在，所以Delta y)也是无穷小。而连续的定义就是当Delta x o 0)时，Delta y)也趋向于0.
反例
我们来举一个反例：
[fx) = |x|
]
它的函数图像长这样：
我们试着来证明：fx))在x=0)处不可导。
[egin{aligned}
f’_\_0)&=frac{|Delta x|}{Delta x}=-1 \
f’_+0)&=frac{Delta x}{Delta x}=1
end{aligned}
]
由于fx))在x=0)处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以fx))在x=0)处不可导。
常见函数的导数
我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。
fx)=C)，C是常数。f’x)=0)
fx)=x^n), f’x)=nx^{n-1})
fx)=sin x)，f’x)=cos x)
fx)=cos x)，f’x)=-sin x)
fx)=a^x)， f’x)=a^xln a)
fx)=log_ax)，f’x)=frac{1}{xln a}, a > 0, a
eq 0))
fx)=ln x)， f’x)=frac{1}{x})
当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。
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