第一讲 数域_域 数学

1. 引入

数是数学的一个最基本概念, 回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:

1) 代数性质: 关于数的加, 减, 乘 , 除等运算的性质称为数的代数性质.
2) 数集: 数的集合简称数集.
常见的数集: 复试C; 实数R;有理数Q等等. 它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.

2. 数域的定义

设F是由一些复数组成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意两个数的和, 差, 积, 商除数不为0)扔是F中的数, 则称F为一个数域.
从数域的定义可以看出一个数域要满足:

• 为复数的子集;
• 包含0和1;
• 对加减乘除运算封闭.

常见的数域: 复数域C, 实数域R, 有理数域Q. 自然数集合N和整数集合Z都不是数域.)
注意:
1) 若数集F中任意两个数作某种运算的结果仍在F中, 则称数集F对这个运算时封闭的.
2) 数域的等价定义: 如果一个包含0, 1在内的数集F对于加法, 减法, 乘法和除法除数不能为0)都是封闭的, 则称数集F为一个数域.

那么除了有理数域Q, 实数域R和复数域C外, 还有其他的数域吗? 当然有!

例 1. 证明: 数集 Q 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q \sqrt2)=\{a + b \sqrt2 | a, b \in Q\} Q2
​)={
a+b2
​∣a,b∈Q}是一个数域.
证明:
1) { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } ⊆ C \{a+b\sqrt2| a, b\in Q\} \subseteq C {
a+b2
​∣a,b∈Q}⊆C
2) 因为 0 = 0 + 0 2 , 1 = 1 + 0 2 0=0 +0\sqrt2, 1= 1+0\sqrt2 0=0+02
​,1=1+02
​, 所以 0 , 1 ∈ Q 2 ) 0, 1 \in Q\sqrt2) 0,1∈Q2
​)
3) 设$a,b,c,d\in Q$, 则有
x ± y = a ± c ) + b ± d ) 2 ∈ Q 2 ) , x\pm y = a\pm c) + b\pm d)\sqrt2 \in Q\sqrt2), x±y=a±c)+b±d)2
​∈Q2
​),
x . y = a c + 2 b d ) + a d + b c ) 2 ∈ Q 2 ) x.y =ac+2bd) + ad+bc)\sqrt2 \in Q\sqrt2) x.y=ac+2bd)+ad+bc)2
​∈Q2
​)
设 a + b 2 ≠ 0 a+b\sqrt2 \ne 0 a+b2
​​=0, 则有 a − b 2 ≠ 0 a-b\sqrt2 \ne 0 a−b2
​​=0

否则, 若 a − b 2 = 0 a-b\sqrt2 =0 a−b2
​=0, 则 a = b 2 a=b\sqrt2 a=b2
​,
\quad 于是有 a b = 2 ∈ Q \frac{a}{b} =\sqrt2 \in Q ba​=2
​∈Q
\quad 或 a = 0 , b = 0 ⇒ a + b 2 = 0 a=0, b=0\Rightarrow a+b\sqrt2=0 a=0,b=0⇒a+b2
​=0 皆矛盾)

c + d 2 a + b 2 = c + d 2 ) a − b 2 ) a + b 2 ) a − b 2 ) = a c − 2 b d a 2 − 2 b 2 + a d − b c a 2 − 2 b 2 2 ∈ Q 2 ) \frac{c+d\sqrt2}{a+b\sqrt2}=\frac{c+d\sqrt2)a-b\sqrt2)}{a+b\sqrt2)a-b\sqrt2)}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt2\in Q\sqrt2) a+b2
​c+d2
​​=a+b2
​)a−b2
​)c+d2
​)a−b2
​)​=a2−2b2ac−2bd​+a2−2b2ad−bc​2
​∈Q2
​)

所以, Q 2 ) Q\sqrt2) Q2
​)为数域.
可以证明类似 { a + b p ∣ a , b ∈ Q } , p 为 素 数 \{a+b\sqrt p|a,b\in Q\}, p为素数 {
a+bp
​∣a,b∈Q},p为素数, 都为为数域, 所以数域有无穷多个.

例2: 设F是至少含两个数的数集, 证明: 若F中任意两个数的差与商除数不为0)仍属于F, 则F为一个数域.

证明: 由题设任取 $a,b\in F$, 有
0 = a − a ∈ F , 1 = b b ∈ F b ≠ 0 ) 0=a-a\in F, 1=\frac{b}{b}\in Fb\ne 0) 0=a−a∈F,1=bb​∈Fb​=0),
a − b ∈ F , a b ∈ F b ≠ 0 ) a-b\in F, \frac{a}{b}\in Fb\ne 0) a−b∈F,ba​∈Fb​=0),
$a+b=a-0-b)\in F$,
b ≠ 0 时 , a b = a 1 b ∈ F , b = 0 时 , a b = 0 ∈ F b \ne 0时, ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}\in F, b=0时, ab=0\in F b​=0时,ab=b1​a​∈F,b=0时,ab=0∈F,
所以, F是一个数域.

3. 数域的性质

性质1: 任意数域F都包括有理数域Q. 即, 有理数域为最小数域.
证明:
设F为任意一个数域. 由定义可知:
$0\in F,1\in F.$
于是有
∀ m ∈ Z + , m = 1 + 1 + . . . + 1 ∈ F \forall m \in Z^+, m = 1+1+…+1\in F ∀m∈Z+,m=1+1+...+1∈F
进而有
∀ m , n ∈ Z + , m n ∈ F \quad \forall m, n\in Z^+, \frac{m}{n}\in F ∀m,n∈Z+,nm​∈F,
− m n = 0 − m n ∈ F \quad -\frac{m}{n}=0-\frac{m}{n}\in F −nm​=0−nm​∈F.
而任意一个有理数可表示为两个整数的商, 所以
$Q\subseteq F$