动态规划之硬币找零问题

动态规划 Dynamic Programming

理查德·贝尔曼Richard Bellman)在1957年提出了动态规划Dynamic Programming, 即 DP)一词
通过将解决方案与包含一般子问题的子问题组合来解决问题
DP 与 分治之间的不同点:

使用分而治之解决这些问题的效率很低, 因为相同的子问题必须多次解决暂时缺乏具体的例子, 需要多做题目)
DP 将解决每个问题一次, 并将其答案存储在表格中以备将来参考

硬币找零问题

目标: 给定硬币的面值, 例如, 1, 5, 10, 25, 100, 设计一种使用最少数量的硬币向客户付款的方法
收银员算法Cashier’s algorithm): 在每次迭代中, 添加不会使我们超过要支付的金额的最大值的硬币
例子: 33 美分33 cents) –> 一个 25 美分 + 一个 5 美分 + 三个 1 美分

收银员算法

将 n 个硬币按照面值进行排序, 使得:

[c_1 < c_2 < … < c_n
]

S leftarrow empty)

WHILE x > 0

     k leftarrow) largest coin denomination c_k) such that c_k leq x)最大硬币面值 c_k) 使得 c_k leq x))
     IF no such k, RETURN “no solution”
     ELSE
          x leftarrow x – c_k)
          S leftarrow S cup { k })
RETURN S

找零Coin Changing)

这个贪婪算法 — 收银员算法是最优的吗?

定理

收银员算法对于美国硬币来说是最佳的算法, 即这个贪婪算法可以求出最优解U.S. coins — 1, 5, 10, 25, 100).

可以根据 x 进行归纳证明存疑, 待补充, 算法本身肯定是正确的).

其他的情况

收银员算法在其他的情况下可能并不奏效
考虑美国的邮费: 1, 10, 21, 34, 70, 100, 350, 1225, 1500这些都是美国邮费的面值, 并且可能每年都会变)

使用收银员算法: 140 美分 = 100 + 34 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
而最佳的做法: 140c即 140 美分) = 70 + 70

在某些情况下, 甚至可能无法找到可行的解决方案

动态规划

为了对 n 美分进行找零, 我们将首先弄清楚如何对每个值 x < n) 进行找零
我们可以从解决方案中构建出更小的值

令 C[n]) 为给 n 美分找零所需的最少的硬币数量
令 x) 为最优解中使用的第一个硬币的值
然后 C[n] = 1 + C[n – x])

问题的关键是: 我们不知道 x 的值

动态规划算法

我们将尝试所有可能的 x) 值, 并取最小值

[C[n] = left{egin{matrix}
min_{i:d_i leq n}left{ C[n – d_i] + 1 ight} qquad if n > 0 & \
0 qquad qquad qquad qquad qquad qquad if n = 0& \
end{matrix}ight.
]

Change 代码

伪码描述

int Changeint n)
{
    if n < 0>)
        return INFTY;
    else if n == 0)
        return 0;

    return 1 + minChangen - d1), Changen - d2), Changen - d3));
}

图解

n = 12, d_1 = 1, d_2 = 3, d_3 = 7)

这棵树的根节点是我们要求解的 n, 然后 n 分别减去 d_1, d_2, d_3) 得到其三个子节点, 然后从左到右依次递归分解这 3 个子节点, 然后以此类推.

最后求解出来的找零所需的最少的硬币的数目是 4, 根据上面的树可以发现, 具体的分法不是唯一的.

动态规划的要素

DP 用于解决具有以下特征的问题:

最优子结构最优原理): 问题的最优解决方案中包括子问题的最优解决方案
子问题重叠: 在某些地方, 我们多次解决同一子问题

动态规划的步骤

表征最佳子结构
递归定义最佳解决方案的值
自下而上计算值
如果需要)构建最佳解决方案

记忆化Memoization)

记忆化是处理重叠子问题的一种方法

计算出子问题的解决方案后, 将其存储在表中
后续调用

可以修改递归算法以使用记忆化
Change) 有许多重复的工作, 使用一个表来使得算法的时间复杂度变为 Onk))

DP_Changen)

伪码描述

int DP_Changeint n)
{
    int tmp, i, j;

    fori = 1, C[0] = 0; i<= n; i++)
    {
        tmp = INFTY;
        forj = 0; j < ; j++)
            if d[j] <= i && C[i - d[j]] + 1 < tmp)
                tmp = C[i - d[j]] + 1; // 更新最小值
        C[i] = tmp;
    }
    return tmp; // 最后返回的即 C[n]
}

这个算法和上面的递归相反, 是从底向上进行构建的.

从底向上构建

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
C[n])	0	1	2	1	2	3	2	1	2	3	2	3	4
d_1)	0	1	2	0	1	2	0	0	1	2	0	1	2
d_2)	0	0	0	1	1	1	2	0	0	0	1	1	1
d_3)	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1

动态规划 VS 贪婪算法

DP 适合具有以下特征的问题:

最优子结构: 问题的最优解决方案包括子问题的最优解决方案
子问题重叠: 子问题总数很少, 每个子问题都有许多重复出现的实例

自下而上, 建立一张已解决的子问题表, 用于解决较大的子问题
贪婪算法是自上而下的, 动态规划可能是过大的overkill); 贪婪算法往往更容易编码.