从日全食期间的星光到黑洞的光环，两次观测都通过引力导致的光偏折来验证广义相对论，而观测难度的巨大增加反映了百年来的科技进步。
撰文 施郁（复旦大学物理学系）
来源：知识分子（微信公众号）
一、导言
整整一百年前的今天（1919 年 5 月 29 日），发生了一次日全食，使得远处恒星的光避免淹没在太阳光中。在英国皇家天文学家戴森（Frank Dyson）的建议下，爱丁顿（Arthur Stanley Eddington）和克罗姆林（Andrew Crommelin）分别带队去西班牙和巴西观测（见下图）。
爱丁顿 1919 年 5 月 29 日拍摄的日全食照片。图源：Wikipedia
他们观测了视线掠过太阳附近所看到的恒星位置，证明太阳引力导致恒星光线偏折（见下图），偏折角度与广义相对论预言一致。这将爱因斯坦送上神坛 [1]。
太阳（Sun）质量导致的时空弯曲使得光线偏折，所以地球（Earth）上观察到的恒星（observed star）偏离实际（actual）位置。
在剑桥的∇2V 俱乐部会议上，爱丁顿宣布发现光线在太阳附近偏折，这是会议记录。图源：Wikipedia
最近（2019 年 4 月 10 日），黑洞视界望远镜（Event Horizon Telescope，简写为 EHT）发布了位于处女座方向的 M87 星系中心的超大质量黑洞的“照片” [2]，显示了黑洞附近的一个光环（下图）。这个光环可以说是引力导致的光线偏折的极致。
EHT 黑洞照片。来源：EHT
相隔一百年，两次观测都通过引力导致的光偏折来验证广义相对论，而观测难度的巨大增加反映了百年来的科技进步。
本文在相对论框架中，用简单易懂的方式介绍黑洞及其成像的原理和历史。最后细述 EHT 对 M87*的研究。为适合不同读者的兴趣，将部分内容放在直线框内，可以跳跃过去，不影响阅读框外的内容。
二、黑洞
相对论
根据勾股定理，两点之间的空间间隔的平方是每个维度上间隔的平方之和。这样的空间叫做平直空间。在弯曲空间中，比如球面上，勾股定理不再成立。空间间隔的平方仍然由每个维度上的间隔决定，但是要乘以系数之后再相加。这些系数叫度规。不管如何选择参照系，都不改变空间间隔的平方。
1905 年，爱因斯坦创立狭义相对论。3 年后，闵科夫斯基指出，由于光速不变，时间和空间构成一个整体，称作时空。每个时空点代表某时某地的事件。两个事件之间的时间间隔的平方（乘以光速的平方，下略）减去空间间隔的平方，结果就是时空间隔的平方。不管如何选择参照系，任何两个事件之间的时空间隔都是一样的。这就是为什么说时间和空间构成整体。
1915 年 11 月 25 日，爱因斯坦在普鲁士科学院演讲，写下刚得到的广义相对论基本方程[3]。方程表明，可以从物质的能量和动量计算出时空弯曲情况，或者反过来。这就是后来惠勒（John Wheeler）所说的“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的时空告诉物质如何运动”。
在弯曲时空中，通过度规，时空间隔的平方仍然由各个维度上的间隔决定。度规反映出时空弯曲。任何两个事件之间的时空间隔在不同参照系中也都是一样的。
1915 年 12 月 22 日，爱因斯坦写出广义相对论方程后不到一个月，就收到在俄国前线担任炮兵中尉的施瓦西（Karl Schwarzschild）来信：
“你看，战争对我不错，虽然战火激烈，还让我能够分心，在你思想的土地上散步。”
施瓦西曾任波茨坦天文台台长，他给爱因斯坦寄来了两篇文章。第一篇是关于一个质点（有质量的一个点）的各向同性引力场（各向同性的意思是各个方向都是等效的）[4]，这是历史上广义相对论方程的第一个严格解。第二篇文章是关于球体产生的引力场 [5]。
爱因斯坦回信：
“我满怀兴趣地读了你的文章。我没想到有人能够用如此简单的方法找到严格解。我非常喜欢你对此问题的数学处理。下个星期四，我将在科学院宣讲你的工作并做些解释。”
次年 1 月 16 日和 2 月 24 日，爱因斯坦在科学院宣读了施瓦西的这两篇文章。5 月 11 日，年仅 42 岁的施瓦西因为一年前染上的天孢疮，在俄国前线去世。6 月 29 日，爱因斯坦在科学院纪念施瓦西，坚信施瓦西的贡献将在科学上起到鼓舞的作用。
施瓦西将时空弯曲的概念推到极致。他发现，质量球外的度规和时空弯曲与所在位置到质量球中心的距离有关，但是与质量球本身的大小无关，但是如果质量球半径小于某个边界值（后来称作施瓦西半径），就不会被远方观测者看到。这个边界叫做事件视界，简称视界，是时空中的单向边界，任何物质只能进，不能出。
为了解释这一点，人们喜欢引用 18 世纪牛顿力学的计算。但事实上，黑洞是从相对论推导出来的，从视界内向外发出的光根本就不能逃出视界，而不是像牛顿力学中的物体那样速度逐步减少，然后再下落回来。
视界
施瓦西运用广义相对论，计算了球对称的质量导致的时空度规，现在称作施瓦西度规。因为球对称，施瓦西用了球坐标，由径向坐标r和两个角度组成。这套坐标是无穷远的观测者使用的、覆盖时空整体的坐标，而不是在某时某地做局部测量所用的坐标。
施瓦西发现，时空间隔的平方等于：时间间隔的平方乘以（1-R/r），减去径向间隔的平方除以（1-R/r），再减去两个角方向的空间间隔。这里R就是施瓦西半径，是两倍的质量M乘以引力常数再除以光速的平方（如果选择适当的单位，可以让引力常数和光速都等于1，那么施瓦西半径就是 2M）。可以看出，当r很大时，也就是距离质量球很远时，或者当M趋向于零时，时空就趋向于平直。
如果绕着质量球走一圈，得到周长，除以两倍的圆周率，就得到半径r。但是两个同心圆的周长之差除以两倍的圆周率却大于半径r之差。这就是空间弯曲，由度规因子刻画。为了直观显示这一点，下面是经常看到的 2 维施瓦西度规的“嵌入图”，将一个 2 维弯曲空间放在 3 维平直空间中。对于r的无穷小变化，同心圆之间沿着曲面的距离等于r的无穷小变化除以（1-R/r）的平方根。
施瓦西度规的示意图。 图源：www.physicsforums.com
设想在空间某处发出一个光脉冲，远方观测者测量的周期平方是不变的。它乘以度规因子（1-R/r）是这个光脉冲在r处固有的周期平方。光脉冲传到r变大的地方，（1-R/r）变大，所以固有周期变大，波长变大（光速乘以周期就是波长），这叫引力红移（因为红光的波长较长）。
现在假设光脉冲发射地r从大于R的地方向 R 接近，那么（1-R/r）接近零，所以在视界处，光脉冲固有周期为零。这意味着光不能逃出视界之外！
即使在视界之外，如果离黑洞中心足够近，物体就不能稳定地绕黑洞运动。对于有质量的物体，最小的稳定轨道叫做“黑洞最内稳定轨道”，半径是施瓦西半径的 3 倍。光子没有质量，绕黑洞运动的最小轨道半径是施瓦西半径的 1.5 倍。这叫光子轨道或者叫光子环，光子环所在的球面叫做光子球面，包括了各种方位的光子环。在广义相对论中，人们经常使用光子的说法，但是只将它当作质量为零的粒子，其运动轨迹就是光线，不需要量子力学。
施瓦西在哥廷根的墓。图源：Wikipedia
1939 年，奥本海默和他的学生弗尔科夫（George Volkoff）提出，中子星在一定条件下会塌缩到视界之内。他还和另一位学生斯涅徳（George Snyder）发表文章《不断的引力吸引》（On continued gravitational attraction），摘要中写道：“当所有的热核能源消耗殆尽，一个足够重的恒星将塌缩，不断地连续下去。” 杨振宁认为，这是奥本海默对纯粹科学最大的贡献 [6]。
1960 年代，普林斯顿的狄克（Robert Dicke）首先将小于视界半径的时空区域叫做黑洞。1967 年，惠勒在一次演讲中，接受一位学生的建议，也采纳了这个名词。施瓦西讨论的黑洞是不转动的，叫做施瓦西黑洞。更为现实的是转动黑洞，1963 年由克尔（Roy Kerr）提出，所以称做克尔黑洞。克尔黑洞的视界半径与角动量（质量乘以转动速度）有关，略小于施瓦西半径。
恒星死亡后塌缩成的黑洞叫做恒星级黑洞，质量大概是太阳质量的 10 到 20 倍，目前主要证据来自X射线和引力波。1969 年，英国剑桥大学的林登-贝尔（Donald Lynden-Bell）首先提出，绝大多数星系的中心存在超大质量黑洞 [7]，质量是太阳质量的几十万倍甚至几百亿倍。位于处女座方向 M87 星系核心（记作 M87*）和银河系中心的射电源人马座A*（记作 Sgr A*）都有超大质量黑洞。证据来自它们附近的气体和恒星的运动轨迹，这些运动轨迹是通过红外和可见光谱研究出的。EHT 得观测目标就是 M87* 和 Sgr A*，最近公布的黑洞照片就是 M87*的。
黑洞的吸积盘和喷注
星系中心的明亮区域叫活动星系核。类星体就是一种活动星系核，是宇宙中最亮的天体，其中的超大质量黑洞以很高的速率吸积物质，形成光学厚的吸积盘，“光学厚” 的意思是辐射的透射率低。与之相反，我们附近的活动星系核大多吸积速率低、低亮度。银河系和 M87 星系的活动星系核都是如此。吸积盘中的物质互相之间摩擦。因为气体稀薄，摩擦不是基于我们熟悉的原子碰撞，而是因为旋转磁场造成了某种湍流。物质在摩擦下，成为电离化的等离子体，绕着黑洞旋转，发出同步辐射。辐射能源是等离子体的引力结合能。
黑洞还有一个壮观的现象叫做喷注，与星系核连接，受磁场主宰，速度接近光速，所以是磁化的相对论等离子体，来自黑洞周围的吸积盘，能量来自黑洞的旋转能或者吸积流。 M87* 有喷注，但 Sgr A* 没有。1918 年，柯蒂斯（H. D. Curtis）观测 M87*，发现“一条奇怪的线……看上去通过一条物质组成的细线与星系核连接” [8]。这是历史上第一个被发现的喷注，长达几千光年（见下图）。喷注在射电、光学和x射线波段都是明亮的。因为相对论束流效应，只有向我们运动的喷注是明亮的，黑洞另一面背离我们运动的喷注非常暗。
M87 的喷注。图源：NASA and The Hubble Heritage Team STScI/AURA)
下图是一个黑洞示意图，标示了黑洞的奇点（Singularity，黑洞中心，这里密度和时空弯曲无限大，表明需要量子引力作进一步描述）、事件视界（Event horizon）、吸积盘（Accretion disk）、相对论喷注（Relativistic jet）、最内稳定轨道（Innermost stable orbit）以及光子球面（Photon sphere）。
黑洞示意图。图源：EHT
三、光子俘获
现在我们介绍光被黑洞俘获的问题。这源于大数学家希尔伯特和物理学家劳厄在广义相对论早期的一点工作 [9,10]。这次观测到的黑洞光环不仅算是纪念施瓦西，而且也算是对希尔伯特的一个小纪念。在爱因斯坦创立广义相对论的最后时期，希尔伯特的工作曾构成竞争[11]，广义相对论的作用量也称爱因斯坦-希尔伯特作用量。不过希尔伯特说过：“哥廷根大街上每个小孩都比爱因斯坦懂 4 维几何。尽管如此，完成这个工作的是爱因斯坦，而不是数学家 [12]。”
希尔伯特
让我们想象远方的光向黑洞射去（参考下图）。一般情况不会正对黑洞中心。在离黑洞较远的地方，光几乎直线传播。因此与此方向一致（平行），让我们画一条通过黑洞中心的直线（也就是图中的横轴）。这两条直线之间的距离叫做光的入射参数（记作b），也就是光线与图中竖轴交点距O点的距离。光的命运就由入射参数b的大小决定。
射向黑洞的光线
图中画了 3 个典型例子。②号光线的b恰好是27)1/2M，我们称之为俘获半径，约等于施瓦西半径（图中黑体圆的半径）的 2.6 倍。这种情况下，光会在光子轨道上绕黑洞旋转，转若干圈后，在扰动下，最终可能会落入视界内，也可能射向远方。①号光线的b小于俘获半径，它的命运就是落入黑洞中。③号光线的b大于俘获半径，最后会逃离黑洞的引力，射向远方。③号情况就和百年前观测的太阳附近的光线偏折一样。巴丁（James Maxwell Bardeen，诺奖得主巴丁的长子）指出，对于旋转黑洞来说，光子轨道偏离圆形，形状和大小还取决于黑洞的角动量以及光的入射方向与转动轴的角度，但差别很小 [13]。
所以，虽然光子环半径实际上是视界半径的 1.5 倍，但是在远离黑洞的地方看来，就是俘获半径，是视界半径的 2.6 倍。也就是说，一个光子从光子环射到很远的地方，与经过黑洞中心的平行线的距离就是视界半径的 2.6 倍，这就是光子环的表观半径。
四、黑洞成像
事实上，光不是从很远处向黑洞照射过去，而是来源于吸积盘。但是光路的性质并不依赖于光源处于轨迹上的哪个位置。所以远方观测者仍然看到光子环的表观大小。这真是造化的巧妙安排，使得本来不发光的黑洞也可以成像，这个道理类似皮影戏。我们看到的是黑洞的剪影，或者说影子。
1979 年，法国天体物理学家卢米涅（Jean-Pierre Luminet）首先研究了这个问题 [14]。他画出了各种 “等径线”，也就是吸积盘上围绕黑洞的相同半径的各处发出的光传到远方所对应的变形的闭合曲线。黑洞外部的光有可能直接传到远方，也可能在黑洞附近绕行一段之后，再传到远方。所以围绕黑洞的每个圆在远方有两条等径线，分别叫做直接图像和二级图像。他还考虑几何薄、光学厚（也就是辐射的透射率低）的吸积盘，进行数值模拟，发现大多数辐射来自从吸积盘最内稳定轨道到 15 倍施瓦西半径的地方。卢米涅还计算了引力红移效应和相对论束流效应（光环向观测者运动的部分亮，背离观测者运动的部分弱）。最后他手工绘制了一个黑白图像（见下图）。在这张图上，远离观测者的那部分吸积盘下方发出的二级图像被靠近观测者的这部分吸积盘挡住了。所以图像主要来自吸积盘上方的直接图像。这里的上方和下方是相对观测者视线而言。
卢米涅的黑洞图像。来源：卢米涅论文
对于几何厚、光学薄的黑洞，科学家考虑 Sgr A* 的实际情况，作了数值模拟，画出彩色图像，得到黑洞剪影，半径大约是施瓦西半径的 2.5 倍，并表明它能够被 VLBI 观测到 [15]。
随着计算机技术的发展，越来越细致漂亮的黑洞图像在数值模拟中绘制出来，包括电影《星际穿越》中壮观的黑洞景象，那是在黑洞赤道面上的观测者看到的景象。这张图上清晰地画出了吸积盘下方发出的二级图像，也就是图像里面下方的圆。但是相对论束流效应在导演建议下省略了。
《星际穿越》中的黑洞图像
五、EHT 的黑洞照片
黑洞的剪影
现在我们讨论 EHT 的黑洞 “照片”。上面显示的正是黑洞附近的光环，光环里面所包围的黑色区域是黑洞的剪影，或者说影子。这个光环来自以接近光速的速度绕黑洞旋转的等离子体所辐射的无线电波（波长 1.3 毫米）。表观上，光环半径接近理想的俘获半径。EHT 发现，光环角直径约 42 微角秒。
照片中的颜色反映了用亮度（能量流量）与波长定义的亮度温度，从黑色代表的绝对零度到黄白色所代表的 60 亿度。从我们的视线看过去，这个黑洞顺时针旋转。但是旋转轴不是垂直于照片平面，而是向我们右边偏离 17 度，导致下半部分向着我们运动，上半部分离开我们运动。因此相对论束流效应使得下半部分明亮，上半部分暗淡。
观测目标的确定
要形成黑洞外的光环，作为光源的辐射需要离黑洞比较近；要让我们看到光环，又需要它足够亮，而且吸积盘足够透明。对于毫米波段的电磁波来说，我们附近的低亮度吸积黑洞可能满足这些条件。在地球上看来，Sgr A* 和 M87* 的超大质量黑洞的角度尺寸（取决于质量和距离之比）最大，处于低亮度活动星系核中，光学薄（也就是辐射的透射率高），是理想的观测对象。M87* 的动力学时间尺度是天的数量级，而 SgrA* 的质量比 M87* 小 3 个数量级，动力学时间尺度是分钟的数量级，它的观测需要还需要应对这种变化以及星际介质的散射。
VLBI 的可行性
低亮度活动星系核中的等离子体绕黑洞旋转，产生同步辐射，从无线电波到红外线都有（进入地球大气的无线电波叫做射电）。同步辐射也可能来自于喷注。在 1.3 毫米波段，VLBI（甚长基线干涉）技术已经比较成熟，而且高海拔的地球大气足够透明，Sgr A* 附近的星际介质散射也不是很严重。
通过不同望远镜的信号的干涉，VLBI 将相距遥远的若干望远镜连接成一个虚拟的大望远镜。基线是指两个望远镜的连线，基线越长，VLBI 的有效孔径越长，分辨力越高，也就是说能分辨的角度越小，因为能分辨的最小角度约等于波长除以基线长度在垂直于光线方向的投影。
以前由三四个望远镜组成的 1.3 毫米波长 VLBI 已经确认了 M87* 和 Sgr A* 在视界的尺度上具有结构，说明了对它们进行黑洞成像的可行性。
EHT 的灵敏度增加了 30 倍，由 6 个地点的共 8 个望远镜组成，其中从南极到亚利桑那等地的基线很长（最长达到 10700 公里），分辨角度达到 25 微角秒，达到观测 M87* 和 Sgr A* 黑洞的要求。
EHT 的实际观测
EHT 对 M87* 的实际探测在 2017 年 4 月 5 日至 11 日进行，每晚 7 至 25 次，每次 3 至 7 分钟。作为对研究方法的确认，EHT 也观测研究了类星体 3C 279。
望远镜用到了基于超导体-绝缘体-超导体结的外差式接收器，通过隧穿电流探测光子，大大提高无线电波探测频率的范围。每个望远镜为了准确记录信号，使用氢微波激射器（原子钟）作为频率基准，并结合 GPS 达到时间同步。接收到的信号转化为数字信号记录下来。EHT 总数据量达到 15 千万亿字节（PB）。每个望远镜具有很高的数据记录速率（从其他 VLBI 的每秒 20 亿比特提高到 640 亿比特），还增加了敏感度（取决于信号的带宽，即频率范围）。不同望远镜记录信号，它们之间进行相干叠加（相干的意思是保持原来信号的变化信息），就像来自同一个望远镜一样。这需要修正不同望远镜之间的时间延迟（其中一个主要因素是大气中的水蒸气）。
在超常阵列（VLA）技术中，每对望远镜的信号输入一个 “关联器”，在物理上真实地叠加。但是在 VLBI，信号并不真实地叠加，而是保存下来，在数据处理时将它们在数学上叠加，得到与物理叠加同样的结果。这对信号的稳定性和不同望远镜之间的同步要求很高。EHT 数据处理在德国马普射电天文研究所和美国麻省理工学院的 Haystack 天文台。
EHT 的直接观测数据就是目标上的亮度分布。对于每对望远镜，通过傅里叶变换，将亮度分布转换成一组空间频率分布，叫做显示度。这就是干涉效应。对于每个望远镜，为了纠正误差，还乘以一个所谓的增益系数。可以证明，这样就得到两个望远镜探测的电场强度之间的关联。另外，为了消除望远镜之间的时间和相位误差， EHT 还用 3 个软件包进行校准。
成像处理
成像处理包括两个阶段。第一阶段，4 个研究小组独立地为 M87 黑洞成像。用了两个方法。一个方法是将图像当作很多点源，确定每个点源的位置和光通量密度。另一个方法是将图像看成像素的组合，通过尝试和改进，使得图像中的显示度等性质与观测数据的差别最小。
第二阶段，提出 4 种简单的几何模型，每种模型只对应 M87 黑洞的某些性质，比如一个光环，或者一个南边亮北边暗的环，等等，结合 EHT 观测 M87 时的情况，将模型的图像转化为数据，叫做人造数据。然后分别用 3 种软件，对人造数据进行成像处理。将这个成像与真实图像比较，就得到“基准”成像参数。根据这些基准成像参数，将 M87 黑洞的观测数据进行成像处理。
对于 4 天的观测结果，3 种软件共得到 12 幅图像。而且图像对于具体方法不敏感，所有的方法得到的图像都是基本一致的，上面都有大约 40 微角秒的光环，而且南半部分较亮。将 3 种软件获得的图像作平均，就得到最后的图像。根据图像算出的黑洞质量，与之前恒星动力学的结果一致，而与气体动力学的结果不一致。
4 天的黑洞照片，每天的照片都平均了 3 种软件的结果。图源：EHT
物理性质的确定
光环的实际形态依赖于辐射的物理起源和黑洞周围的情况。如果 1.3 毫米的同步辐射起源于距离黑洞较远处，辐射就会由喷注主宰，光环会很弱。如果辐射起源靠近视界，逆向喷注（与旋转轴向相反）或者吸积流就会产生围绕阴影的环状或新月状的图像。
因此 EHT 合作组研究了黑洞剪影的特征性质，比如大小和非对称性，得到对时空的限制。在这个过程中，不以光子环作为假设，而是直接从几何模型和成像得到结果。他们提出 “非对称环新月模型”，用两种算法拟合显示度的观测数据。
研究人员还以转动黑洞周围环绕着磁化吸积流作为基本假设，用广义相对论磁流体力学（GRMHD）模拟辐射区域。模拟结果一方面用来校准几何模型的参数。另一方面也直接用来成像，作出 6 万个图像，与观测到的显示度比较，从而决定模拟模型的参量，特别是旋转角动量和磁通量。还通过空间X射线天文台 Chandra X 和 NuSTAR 的观测，排除了一些模型。这样得到的辐射区与黑洞的参数与直接用黑洞成像所得到的结果一致。细节不同的模型所导致的图像差不多，所以图像主要是由引力透镜效应和时空几何决定，而不是等离子体物理的细节。
研究确认，非对称光环确实是旋转黑洞附近的热等离子同步辐射在黑洞引力下所致。在我们看去，黑洞顺时针旋转，相对论束流效应导致了光度温度的非对称性。
结论和展望
EHT 研究组最后确定，光环的直径是 42 微角秒，宽度比例小于 0.5，黑洞引力角半径（引力半径除以距离，视界半径的一半）是 3.8 微角秒，根据它离我们的距离 16.8Mpc（65 亿光年），得到黑洞质量是 65 亿太阳质量。这些结果与广义相对论预言的克尔黑洞附近的辐射一致。至于 Sgr A*，目前基于其他观测的数据是，430 万太阳质量，距我们 2.6 万光年，视界角尺寸是 53 微角秒。
目前探测的波长 1.3 毫米对应的频率是 330GHz。EHT 将来在 340GHz 和 345GHz 的观测将进一步限制光环的宽度。
最后提一下，中文“光环”还有一个意思，英文是 glory，也叫晕轮或者 “佛光”。那是太阳光照射到云雾中，导致干涉，形成一圈光环。引申开来，也有社会和心理中的“光环”。黑洞的光环（photon ring）与意为 “佛光” 的光环当然机理完全不一样，但是效果有类似之处。
晕轮或者佛光（也叫光环）
总之，广义相对论不仅预言了黑洞的存在，也预言了它的剪影，这提供了一个巧妙的观测方法。65 亿年前的电磁波从黑洞附近出发，长途跋涉，于 2017 年 4 月 5 日至 11 日被地球上的望远镜用来给这个黑洞“照相”，提供了超大质量黑洞存在的最强有力的证据，表明了活动星系核与黑洞吸积的密切关系，获得了黑洞和活动星系核的信息。EHT 对超大质量黑洞的观测与 LIGO 对恒星级黑洞的观测互补，检验了极端引力区域的广义相对论，打开了黑洞研究的新窗口。
注：文中引语均由作者译自英文。
参考文献：
[1] 施郁. 98 年前的今天，谁一夜成名？知识分子，2017-11-07
https://mp.weixin.qq.com/s/ZoWo1BddVuFNQ49Jn0nK8g
[2] EHT collaboration,Focus on the first Horizon Telescope results, Astrophysical Journal Letter,875, 2019, April 10.
[3] Pais A. Subtleis the Lord.
[4] Schwarzschild,K. Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaftern, 1916, 189.
[5]SchwarzschildK. Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaftern, 1916, 424.
[6] 杨振宁. 杨振宁文集.
[7] Lynden-Bell,D. 1969, Natur, 223, 690
[8] Curtis, H. D.1918, PLicO, 13, 9
[9] Hilbert D.1917, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der
Wissenschaften zuGöttingen—Mathematisch-physikalische Klasse Berlin: Weidmannsche Buchhandlung),53
[10] von Laue M. 1921,Die Relativitätstheorie. Zweiter Band: Die Allgemeine Relativitätstheorie UndEinsteins Lehre Von Der Schwerkraft Braunsweig: F. Vieweg & Sohn) DasRelativitätsprinzip der Lorentztransformation – Vol. 2.Die allgemeineRelativitätstheorie und Einsteins Lehre von der Schwerkraft
[11] 施郁，从引力波谈爱因斯坦的幸运，自然杂志，2016 年 38 卷 2 期，120-124. http://blog.sciencenet.cn/blog-4395-956018.html
[12]Issacson W. Einstein: His Life and Universe
[13] Bardeen, J M. 1973, in Black Holes LesAstres Occlus)， ed. C. Dewitt & B. S. Dewitt New York: Gordon and Breach),215
[14] Luminet, J.-P. 1979, A&A, 75, 228
[15] FalckeH, Melia F, Agol E. APJL, 528, L13
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