期望
随机变量的期望
期望通常记为 \\mu\)。
离散型随机变量期望
设 \X\) 是满足频率函数为 \px)\) 的随机变量，若 \\sum_i |x_i|px_i)<\infty\)，那么 \X\) 的期望
\[Ex) = \sum_i x_i px_i)
\]
连续型随机变量期望
定义类似，设 \X\) 是满足密度函数为 \fx)\) 的随机变量，若 \\int |x|fx)dx<\infty\)，那么 \X\) 的期望
\[Ex) = \int x fx)dx
\]
积分发散时无定义，同理上述离散型中和式发散时无定义。
柯西密度
柯西分布 \fx) = \frac{1}{\pix^2+1)}\)，看似 \EX)=0\)，但因为 \\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|x|}{\pix^2+1)}dx\) 是发散的，因此不存在期望。
马尔可夫不等式
如果随机变量 \X\) 满足 \PX\geq 0) = 1\)，则有 \PX\geq t)\leq \frac{EX)}{t}\)。
证明（离散形式）：
\[\begin{aligned}
EX) &= \sum_{x<t}xpx) + \sum_{x\geq t}xpx)\\
&\geq \sum_{x\geq t}xpx)\\
&\geq \sum_{x\geq t}tpx)\\
&=tPX\geq t)
\end{aligned}
\]
连续形式类似。
随机变量函数的期望
设 \Y=gX)\)。
离散形式：\EY) = \sum gx)px)\)
连续形式：\EY) = \int gx)fx) dx\)
对离散形式的证明：
约定 \A_i\) 表示满足 \gx) = y_i\) 的 \x\) 构成的集合。
\[\begin{aligned}
EY) &= \sum y p_Yy)\\
&= \sum_i y_i \sum_{x\in{A_i}}px) \\
&= \sum gx)px)
\end{aligned}
\]
推广：
设 \Z=gX, Y)\)，如果 \\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} |gx, y)|fx, y)dxdy < \infty\)，那么有 \EZ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} gx, y)fx, y)dxdy\)
随机变量线性组合的期望
若 \X_i\) 是具有期望 \EX_i)\) 的联合分布随机变量，\Y\) 是 \X_i\) 的线性函数，\Y=a+\sum_{i=1}^n b_iX_i\)，则
\[EY) = a+\sum_{i=1}^n b_iEX_i)
\]
上述定理的应用
直接计算二项频率函数的期望 \EY)\) 是复杂的，我们将 \Y\) 拆成伯努利随机变量 \X_i\) 的和，\X_i\) 代表第 \i\) 个试验成功与否（成功取 \1\)，反之取 \0\)）。
那么 \EY) = \sum_{i=1}^n EX_i) = np\)。
方差和标准差
随机变量的期望可以看作是密度或频率函数的中心。而标准差描述关于中心的发散程度。
方差 & 标准差定义
如果随机变量 \X\) 具有期望 \EX)\)，那么方差为：
\[VarX) = E\{[X-EX)]^2\} = E[X-\mu)^2]
\]
\X\) 的标准差为方差的平方根。
方差通常记为 \\sigma ^ 2\)，标准差记为 \\sigma\)。
方差离散形式：\VarX) = \sum_i px_i)x_i-\mu)^2\)
方差连续形式：\VarX) = \int fx)x-\mu)^2dx\)
定理
若 \EX)\) 存在， \Y=b+aX\)，那么 \VarY) = a^2 VarX)\)。
证明：
\[\begin{aligned}
VarY) &= E[Y-EY))^2] \\
&= E[b+aX-Eb+aX))^2] \\
&= E[b+aX-aEX)-b)^2] \\
&= a^2 E[X-EX))^2] \\
&= a^2 VarX)
\end{aligned}
\]
若 \EX)\) 存在，\VarX) = EX^2) – [EX)]^2\)，即 \VarX) = EX^2) – \mu^2\)。
证明：
\[\begin{aligned}
VarX) &= E[X-\mu)^2]=EX^2 – 2\mu X + \mu ^2) \\
&= EX^2) – 2\mu EX) + \mu^2 \\
&= EX^2)-\mu^2
\end{aligned}
\]
（切比雪夫不等式）令 \X\) 是均值为 \\mu\) 方差为 \\sigma^2\) 的随机变量，则 \\forall t>0\)，有
\[P|X-\mu|>t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}
\]
证明：
\Y = X-\mu)^2\)，那么 \EY) = \sigma^2\)，只需证明 \PY > t^2) \leq \frac{EY)}{t^2}\)，这正是马尔可夫不等式。
协方差 & 相关系数
方差是随机变量变异性的度量，两个随机变量的协方差是它们联合变异性的度量。
协方差定义
如果 \X,Y\) 是分别具有期望 \\mu_X,\mu_Y\) 的随机变量，则 \X,Y\) 的协方差是：
\[CovX, Y) = E[X-\mu_X)Y-\mu_Y)]
\]
另一种表述形式是
\[CovX, Y) = EXY)-EX)EY)
\]
推导：
\[\begin{aligned}
CovX, Y) &= E[X-\mu_X)Y-\mu_Y)] \\
&= EXY – \mu_XY-X\mu_Y + \mu_X\mu_Y) \\
&= EXY) – \mu_Y EX) – \mu_XEY) + \mu_X\mu_Y \\
& = EXY)-EX)EY)
\end{aligned}
\]
如果 \X,Y\) 独立，我们有 \EXY) = EX)EY)\)，因此 \CovX,Y)=0\)，但是反过来却不一定成立。
另外，我们有 \VarX+Y) = VarX) + VarY) + 2CovX, Y)\)。
推导：
\[\begin{aligned}
VarX+Y) &= E[X+Y)-EX+Y))^2] \\
&= E\{[X-\mu_X) + Y-\mu_Y)]^2\} \\
&= VarX) + VarY) +2CovX, Y)
\end{aligned}
\]从这个结论中可知，当 \X,Y\) 独立时，\VarX+Y) = VarX) + VarY)\)
协方差性质
均可由期望的性质简单地推出。
\\forall a,b\)，有 \CovaX, bY) = abCovX, Y)\)。
\CovX_1+X_2,Y) = CovX_1, Y) + CovX_2, Y)\)
X,Y 不相关意味着 \CovX,Y) = 0.\)
相关系数定义
如果 \X,Y\) 的方差和协方差都存在，且方差非 \0\)，那么 \X,Y\) 的相关系数记为 \\rho_{XY} = \frac{CovX, Y)}{\sqrt{VarX)VarY)}}\)
\\rho_{XY}\) 刻画 \X,Y\) 的关系：
\min_{a,b}E[Y-aX+b))^2] = E[Y-a_0X+b_0))^2] = DY)1-\rho^2)\)
条件期望
定义
在给定 \X = x\) 的条件下，\Y\) 的条件期望是：
\[EY|X=x) = \sum_y yp_{Y|X}y|x)
\]
连续情形：
\[EY|X=x) = \int yf_{Y|X}y|x)dx
\]
\hy)\) 相应的条件期望为：
\[EhY)|X=x) = \sum_y hy)p_{Y|X}y|x)
\]
假设对于 \X\) 范围内的任意 \X=x\) 时 \Y\) 的期望均存在，那么它（条件期望）是 \X\) 的函数，因此它是随机变量。只要相应的和式/积分收敛，那么它就具有期望 \E[EY|X)]\) 和方差。
定理
\EY) = E[EY|X)]\)
这个定理告诉我们求 \Y\) 的期望值可以通过先以 \X\) 为条件，计算出 \EY|X)\)，再将其关于 \X\) 求平均值（期望）得到。
证明：
我们需要得到 \EY) = \sum_x EY|X=x)px)\)。
\EY|X=x) = \sum_y yp_Yy|x)\)，
因此 \\sum_x EY|X=x)px) = \sum_y y \sum_x p_{Y|X}y|x)p_Xx)\)
利用全概率公式 \p_Yy) = p_{Y|X}y|x)p_{X}x)\)
故有 \\sum_x EY|X=x)px) = \sum_y y \sum_x p_{Y|X}y|x)p_Xx) = \sum_y yp_Yy) = EY)\)
\VarY) = VarEY|X)) + EVarY|X))\)。（证明待补）