我们之前已经接触了一些矩阵乘法的规则,现在来系统地学习一下。
一、基本要求
并不是随便拿两个矩阵就可以作矩阵乘法,想要做矩阵乘法,必须满足以下要求:
第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
即如果第一个矩阵是m×n的,那么第二个必须是n×p的,其中m、n、p为任意正整数(a行b列可以用a×b表示)
二、基本性质
满足结合律 ABC)=AB)C
满足交换律 AB+C)=AB+AC 、 A+B)C=AC+BC
满足对数乘的结合性 kAB)=kA)B=AkB) ,k为任意常数
一般不满足交换律AB≠BA
三、矩阵乘法运算
以下叙述中,默认以AB=C表示,其中A为m×n矩阵,B为n×P矩阵,C为二矩的阵乘积(m×p矩阵)。
另,默认用Aij表示A矩阵第i行第j列元素
1.基本方法(按行与列点乘考虑)
用A中的每一行与B中的每一列进行点乘,并将得到的结果写在C相应的位置(用的A中的哪行就写在C的哪行,用的B的哪列就写在C的由A确定的行的哪列)
即(下图源自百度百科)
2.按列考虑
前面说过,在一个矩阵右边乘上一个矩阵相当于对该矩阵作列变换,在矩阵右边乘一个列向量相当于对该矩阵的列进行线性组合。
我们的结果是A乘以B的第一列等于C的第一列,A乘以B的第二列等于C的第二列。
即,我们可以把B考虑成摆放在一起的p个单独的列向量,作乘法时用A乘以每一个列向量,从而可以得到p个列,将他们摆放在一起就得到了整个矩阵相乘的结果。
也就是C中的列是A各列的线性组合,而B决定线性组合的方式
用另一种说法:矩阵乘以矩阵就是矩阵乘以列向量的叠加,也就是B对A的列进行线性组合的叠加(也许用“叠加”不是很恰当,也许可以用“拼凑”?“组合”?“拼合”?能理解这个意思就好)
3.按行考虑
既然可以按列考虑,自然也可以按行考虑。
前面也介绍过,在一个矩阵左边乘上一个矩阵相当于对该矩阵作行变换,在矩阵左边乘一个行向量相当于对该矩阵的行进行线性组合。
A的第一行乘以B等于 1[1 4] + 2[2 5] + 3[3 6] = [ 14 32 ]
A的第二行乘以B等于 4[1 4] + 5[2 5] + 6[3 6] = [ 32 77 ]
我们可以把A考虑成摆放在一起的m个单独的行向量,作乘法时用A的每一行乘以B,从而可以得到m个行,将他们摆放在一起就得到了整个矩阵相乘的结果。
即,C中的行是B各行的线性组合,而组合的方式由A决定
我想,如果你理解了列的关系,那么行的关系也可以很容易地理解。
如果你对按行考虑和按列考虑的思想感到很茫然,或者根本没听说过这种思考方式,那一定是你没看或没仔细看前面的两节内容,请回头仔细阅读。
4.按列乘以行考虑
基本方法用行点乘列得到一个数,而用列与行考虑得到的则是一个矩阵(m×p)
将三个矩阵相加,我们得到了矩阵C。
也就是说,矩阵相乘的结果等于A矩阵的各列与B矩阵对应的行的乘积的和。
5.特殊性质:分块相乘
分块相乘的意思就是你可以将矩阵分成匹配的多块(匹配即满足矩阵乘法规则),然后将每一块看成一个数进行乘法,规则与正常矩阵乘法相同,只是运算的元素由数字变成了更小的矩阵。
(注:计算机在矩阵较大时使用分块乘法可提高效率)