12 月 2 日消息，谷歌母公司旗下顶级 AI 研究机构 DeepMind 刚刚披露最新研究成果 —— 实现人工智能（AI）的首批重大数学发现。该研究论文登上了国际顶级学术期刊 Nature 封面。
▲ DeepMind《人类直觉与 AI 推动数学进步》（Advancing mathematics by guiding human intuition with AI）论文登上 Nature 新封
DeepMind 与顶尖数学家合作，用最新 AI 技术发现纯数学拓扑学和表象理论的新见解，寻找到数学不同领域间意想不到的关联，首次证明 AI 可以站在纯数学的前列，加速证明数学猜想正确与否。
SIMONYI 牛津大学科学公众理解教授兼数学教授马库斯・杜・索奥伊对此赞誉有加：“感觉仿佛伽利略拿起望远镜，能够深入数据宇宙，看到以前从未检测到的东西。”
论文链接：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
用 AI 协助指导数学直觉
数学直觉在创造性的数学发现中起到极为重要的作用，能不受固定逻辑规则的约束，迅速领悟到事物本质，推动新定律的诞生。
从 20 世纪 60 年代，数学家们就开始使用计算机生成数据，来帮助发现这些模型和公式。其中知名的包括千禧年六大数学难题之一 —— 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。
但从这些数据中识别和发现模型，仍然主要依赖于数学家。
在纯数学中，发现模型变得愈发重要，因为现在可以生成比任何数学家一生中合理预期的研究更多的数据。有些拥有数千维度的对象，可能太深不可测，无法直接推理。
考虑到这些限制，DeepMind 研究人员认为 AI 将能够以全新的方式增强数学家的洞察力。
首先，AI 算法搜索数学对象之间的模型和关联，并试图理解它们，然后数学家使用这些观察来引导直觉，从而得出潜在的猜想。
DeepMind 研究人员将他们的方法应用于数学的两个领域，最终在拓扑学中发现了一个新定理，在表象理论中发现了一个新猜想。
其研究结果表明，机器学习可通过监督学习检测假设模型的存在，并使用归因技术洞察这些模型，来补充数学研究，以指导对问题的直觉。
“机器学习工具作为直觉指南是多么有用，我感到非常震惊。”参与此次研究的牛津大学数学家 Marc Lackenby 感慨说，“我没想到我的一些先入为主的观念，会让他们大吃一谈。”
破解 40 年数学难题：组合不变性猜想
知名澳大利亚数学家乔迪・威廉姆森（Geordie Williamson）教授是悉尼大学数学研究所所长，在纯数学领域取得诸多成就。
与 Williamson 教授一起，DeepMind 团队用 AI 帮助发现了一种处理表象理论（representation theory）中长期猜想的新方法。
近 40 年，组合不变性猜想一直进展寥寥。而此次新研究显示，某些有向图和 Kazhdan-Lusztig 多项式之间应该存在关联。
下图展示的是表象理论中的两个基本对象：两个 Bruhat 区间及其相关 Kazhdan-Lusztig 多项式。
Bruhat 区间是一个图表，它表示通过每次只交换两个对象来反转一个对象集合顺序的所有不同方法。Kazhdan-Lusztig 多项式则深刻而微妙地告诉数学家这个图可存在于高维空间的不同方式。当 Bruhat 区间有 100 或 1000 秒的顶点时，有趣的结构才开始出现。
DeepMind 的 AI 模型突出了以前未被发现的结构，这些结构引导其得到了令人惊讶的新数学结果。
▲ 组合不变性猜想表明，一对排列的 KL 多项式应该可以从其未标记的 Bruhat 区间计算，之前没有这样的函数。
有了这些知识，Williamson 教授能够猜测一种美丽的公式，以解决组合不变性猜想。他们在超过 300 万个示例中计算验证了新公式。
“模型的准确性有多快 —— 对我来说，这太令人震惊了。”Williamson 说，一旦算法锁定模型，它就能非常准确地猜测哪些图和多项式来自相同的对称性，“我想我基本上在黑暗中呆了一年，只是觉得电脑知道一些我不知道的事情。”
Williamson 的猜测是否会被证明是正确的，仍是个悬而未决的问题。猜想有时需要很长时间才能破解数学界，但它们有可能塑造整个领域。
论文链接：
https://arxiv.org/abs/2111.15161
借助 AI 模型，揭示不同数学对象之间的关联
DeepMind 与牛津大学的 Lackenby 教授和 Juhász 教授一起探索了扭结（knot）—— 拓扑学研究的基本对象之一，一个嵌入在三维空间的扭环。
“结”不仅告诉我们绳子可缠绕的多种方式，还与量子场理论、非欧几里得几何学有惊人的联系。
代数、几何和量子理论都对扭结有独特观点，一个由来已久的谜团是这些不同分支之间的关联。
研究人员训练了一个机器学习模型来发现这种模型。他们专注于两大类：双曲不变量和代数不变量，假设两者存在未被发现的关联。
▲ 3 个双曲扭结不变量的例子
借助机器学习的归因技术，他们帮助 Lackenby 教授发现了一个新的数量“自然斜率”，定义为斜率（K）=Re（λ/μ），其中 Re 表示真实部分。
最终，研究结果揭示了特定的代数量 signature σK) 与扭结的几何形状直接相关，而这是现有理论所不知晓的。
这是一个扭结几何与签名之间的一个显著关联。当用规范的方法测量时，扭结的几何形状与其形状（如体积）有关。这个签名是一个代数不变量，可通过观察扭结交叉和扭转的方式来计算。
“任何可以生成足够大数据集的数学领域都可以从这种方法中受益。”Juhász 教授说，他们演示的技术也可以在生物学或经济学等领域找到应用。
论文链接：
https://arxiv.org/abs/2111.15323
结语：期待 AI 加速数学家的创造性工作
因为 AlphaGo 击败人类围棋冠军而闻名于世的 DeepMind，近年正着力用 AI 加速突破科学突破，去年其研究曾助力破解蛋白质如何折叠这一生物学重大难题。如今，AI 又在协助指导数学直觉方面取得堪称里程碑的进展。
尽管某些类型的模型仍无法使用现代机器学习，DeepMind 研究团队希望其 Nature 论文能激励其他研究人员考虑 AI 作为纯数学有用工具的潜力。
英国数学家 George Frederick James Temple 在复盘拉马努詹令人难以置信的思想时写道：“数学的巨大进步不是逻辑，而是创造性想象力。”
使用 AI 为发现数学规律带来了巨大希望。通过与数学家合作，DeepMind 期待看到 AI 如何将人类的直觉之美，进一步提升到新的创造力水平。