已知抛物线 \C:x^2=2py\) ，弦 \AB\) 过 \C\) 的焦点 \F\) ，过 \A,B\) 两点作抛物线 \C\) 的两条切线，若两切线相交于点 \P\) ，则
1) \AP\perp PB\) ；
2) 点 \P\) 在抛物线 \C\) 的准线上。
证明：设 \A\Bigx_1,\dfrac{x_1^2}{2p}\Big),B\Bigx_2,\dfrac{x_2^2}{2p}\Big),Px_0,y_0)\) ，设过点 \P\) 的切线斜率为 \k\) ，则切线方程为 \y=y_0+kx-x_0)\) ，联立抛物线方程得
\[x^2-2pkx+2pkx_0-2py_0=0 \]
令 \\Delta=0\) 得
\[4p^2k^2-8px_0k+8py_0=0 \]
故
\[k_1+k_2=\dfrac{2x_0}{p},k_1k_2=\dfrac{2y_0}{p} \]
所以
\[x=\dfrac{2pk\pm\sqrt{\Delta}}{2}=pk\;\Longrightarrow\;x_1=pk_1,x_2=pk_2 \]
则 \A\Bigpk_1,\dfrac{pk_1^2}{2}\Big), B\Bigpk_2,\dfrac{pk_2^2}{2}\Big)\)，由 \A,F,B\) 三点共线得 \k_{AF}=k_{FB}\) ，即
\[\dfrac{\dfrac{pk_1^2}{2}-\dfrac p2}{pk_1}=\dfrac{\dfrac{pk_2^2}{2}-\dfrac p2}{pk_2} \]
化简得
\[\dfrac{k_1k_2+1)k_1-k_2)}{k_1k_2}=0 \]
因为 \k_1\neq k_2\) ，所以 \k_1k_2=-1\) , 所以 \AP\perp PB\) .
又 \k_1k_2=\dfrac{2y_0}{p}=-1\) ，所以 \y_0=-\dfrac{p}{2}\) . 所以点 \P\) 在抛物线的准线上。